Reihe auf Konvergenz prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Di 26.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Prüfen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n^n} [/mm] |
Ist das nicht auch eine geometrsiche Reihe mit [mm] q=\bruch{1}{n} [/mm] und kann dann sagen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{n}\right)^n
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1-\bruch{1}{n}}=\bruch{n}{n-1}
[/mm]
aber das ist ja kein richtiger Grenzwert bzw das würde doch heissen, dass die Reihe divergent ist oder?
Oder kann ich mit obigen Überlegungen gar nichts anfangen und muss das Vergleichskriterium anwenden?
Könne ich dann als Majorante [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^n [/mm] nehmen?
Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Dies ist keine geometrische Reihe, da diese nur für $q \ = \ [mm] \text{const.}$ [/mm] gilt mit [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}q^n$ [/mm] .
Von daher bleibt Dir hier für den Nachweis der Konvergenz (soviel kann ich ja verraten) nur ein anderes Kriterium wie z.B. Quotientenkriterium, Wurzelkriterium oder Majorantenkriterium.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Di 26.08.2008 | | Autor: | tedd |
Also mit dem Wurzelkriterium scheint die Konvergenz ja ziemlich schnell bewiesen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\bruch{1}{n^n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0<1 \to [/mm] konvergent.
Kann ich denn dadurch auch Rückscchkschllüsse auf den Grenzwert der Reihe machen oder ist das nicht möglich?
Die Aufgabenstellung lautet ja auch nur "Prüfen Sie die Reihe auf Konvergenz." was ich ja gemacht habe, sofern die Lösung jetzt Richtig ist.
Danke und Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Für den Grenzwert dieser Reihe gibt es so keinen Hinweis.
Die o.g. Kriterien geben lediglich an, ob eine Reihe konvergiert.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Di 26.08.2008 | | Autor: | tedd |
Danke Loddar! :)
Dann ist die Frage damit für mich auch erstmal erledigt.
Besten Gruß,
tedd
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