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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mo 10.07.2006 | | Autor: | noid |
| Aufgabe | | Ist die Reihe f(x) = [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \left( \bruch{x^n}{n}- \bruch{x^n^+^1}{n+1}\right) [/mm] für [mm] \left| x \right| [/mm] < 1 gleichmäßig konvergent? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
habe mir zunächst einige Glieder der Folge angesehen:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \left( \bruch{x^n}{n}- \bruch{x^n^+^1}{n+1}\right)= \bruch{x^1}{1}- \bruch{x^2}{2}+ \bruch{x^2}{2}- \bruch{x^3}{3}+ \bruch{x^3}{3}- \bruch{x^4}{4}+ \bruch{x^4}{4} \ldots- \bruch{x^n^+^1}{n+1}= x-\bruch{x^n^+^1}{n+1} [/mm]
(weil sich alle Glieder bis auf das Erste und Letzte herauskürzen)
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0 für x=0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = x für [mm] \left| x \right| [/mm] < 1
[mm] \Rightarrow \left| f(x)_{n}-f(x) \right| [/mm] = [mm] \left| x-\bruch{x^n^+^1}{n+1}- \begin{cases} 0 \\ x \end{cases} \right| \le\bruch{x^n^+^1}{n+1} \le\bruch{1}{n+1}< \varepsilon [/mm] (darf ich so abschätzen?)
für alle [mm] \left| x \right| [/mm] < 1 und für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein N für das alle n [mm] \ge [/mm] N die Ungleichung [mm] \left| f(x)_{n}-f(x) \right|<\bruch{1}{n} [/mm] erfüllen
Kann man so die gleichmäßige Konvergenz zeigen oder absoluter Unsinn??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Di 11.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hi,
ich denke, dass das alles vollständig richttig ist mit zwei winzigen Abstrichen:
1) Du solltest schreiben: $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x)_n [/mm] $ statt $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) $.
Das ist wohl ein Tippfehler.
2) Das ist nicht mal ein Fehler, aber warum unterscheidest du $x=0$ und [mm] $x\neq [/mm] 0$? Das ist doch kein Unterschied! Diese Unterscheidung kannst du einfach weglassen, und den Fall gleich 0 im allgemeinen Fall mit behandeln.
Ich sehe nicht, dass du in irgendeinem Schritt unsicher warst.
Grüße
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Di 11.07.2006 | | Autor: | noid |
Ok. Vielen lieben Dank.
Gruß
René
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