Reihe ausrechnen / ähnlich Exp < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Mo 05.12.2005 | | Autor: | cantor |
Hi!
ich soll
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{x^k}{(k+1)! } [/mm] * exp(-x)
ausrechnen
das exp(-x) kann man natürlich vor die Summe ziehen, aber dann steht im vergleich zur exponentialreihe ein (k+1)! statt k! in der Reihe... hat jemand eine idee, wie man das ausrechnen könnte? Danke!! cantor
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo cantor,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zunächst können wir den Ausdruck hinter dem Summenzeichen erweitern mit [mm] $\bruch{x}{x}$ [/mm] :
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{(k+1)!}*\exp(-x) [/mm] \ = \ [mm] \exp(-x)*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{(k+1)!}*\blue{\bruch{x}{x}} [/mm] \ =\ [mm] \bruch{\exp(-x)}{x}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k+1}}{(k+1)!}$
[/mm]
Wie Du nun selber festgestellt hast, entspricht die Summe fast der Exponentialreihe für [mm] $\exp(x)$ [/mm] . Welches Glied fehlt uns denn?
Die Exponentialreihe wäre: [mm] $\exp(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^0}{0!} [/mm] + [mm] \bruch{x^1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^2}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{x^3}{3!} [/mm] + ... \ = \ [mm] \red{1} [/mm] + [mm] \bruch{x^1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^2}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{x^3}{3!} [/mm] + ... $
Und wir haben: [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k+1}}{(k+1)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^{0+1}}{(0+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{1+1}}{(1+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{2+1}}{(2+1)!} [/mm] + ... \ = \ [mm] \bruch{x^1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^2}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{x^3}{3!} [/mm] + ... $
Also können wir nun was für diese Summe schreiben?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mo 05.12.2005 | | Autor: | cantor |
Hallo Loddar
Vielen Dank für die schnelle Antwort,
jetzt isses natürlich klar, hatte ein brett vorm kopf
gruss cantor
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