Reihe berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Do 21.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] + [mm] 3\cdot \vektor{n \\ 1}+ 5\cdot \vektor{n \\ 2} +...+(2n+1)\cdot \vektor{n \\ n} [/mm] |
Ich soll diese Reihe berechnen... mir ist aber nicht ganz klar wie ich dabei vorgehen muss. Hilfe wäre sehr willkommen.
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Ich sehe als eine Möglichkeit, die Summe (keine Reihe!) für kleine n auszurechnen und dort ein "Bauprinzip" zu ermitteln, das du dann mit Induktion beweisen kannst.
Es gibt vermutlich auch rechnerische Ideen, aber da bin ich momentan überfragt - andere Leute hier im Forum kommen da aber in der Regel auf sehr clevere Ideen  .
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Fr 22.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | andere Leute hier im Forum kommen da aber in der Regel auf sehr clevere Ideen |
Ja das kann ich bestätigen .... ich habe ein ähnliche Aufgebe gefunden nämlich [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k [mm] \cdot \vektor{n \\ k}
[/mm]
Der Lösungsansatz dafür lautet wie folgt:
Sei [mm] s_n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k [mm] \cdot \vektor{n \\ k}
[/mm]
Wegen
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n-k} [/mm] Sind die untereinanderstehen Ausdrücke gleich und es müssen nur die Vorfaktoren aufaddiert werden, welche immer n ergeben, dies führt zu:
[mm] \Rightarrow 2\cdot s_n [/mm] = [mm] 0\cdot \vektor{n \\ 0} [/mm] + [mm] 1\cdot \vektor{n \\ 1} +\cdots [/mm] + [mm] (n-1)\codt\vektor{n \\ n-1} +(n)\codt\vektor{n \\ n}
[/mm]
[mm] +(n)\codt\vektor{n \\ n} [/mm] + [mm] (n-1)\codt\vektor{n \\ n-1}+\cdots+ 1\cdot \vektor{n \\ 1}+0\cdot \vektor{n \\ 0}
[/mm]
= [mm] n\cdot \vektor{n \\ 0} [/mm] + [mm] n\cdot \vektor{n \\ 1}+\cdots [/mm] + [mm] n\cdot \vektor{n \\ n- 1}+n\cdot \vektor{n \\ n}
[/mm]
= [mm] n\cdot \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] n\cdot 2^n
[/mm]
Das kann ich ja so einigermaßen nachvollziehen, lässt sich das irgendwie auf meine Aufgabe portieren und ich sehe nur den Trick mal wieder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Fr 22.05.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
Deine Aufgabe ist doch
[mm] \summe_{k=0}^{n}(2k+1) \vektor{n \\ k} [/mm] zu berechnen. Das kann man doch auf die von Dir gefundene Aufgabe zurück führen.
mfg ullim
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