Reihe in Q_2 (p-adische Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 So 25.01.2009 | | Autor: | charmm |
| Aufgabe | Man zeige, dass in [mm] \IQ_2 [/mm] gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^n}{n} [/mm] = 0
Hinweis: Beachte [mm] log_2(-1) [/mm] |
Zunächst wollte ich die Konvergenz zeigen:
[mm] |\bruch{2^n}{n}|_2 [/mm] = [mm] |2^n|_2 |\bruch{1}{n}|_2
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |2^n|_2 [/mm] = 0
ist klar, aber bei
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{1}{n}|_2
[/mm]
hänge ich. Soweit ich das überblicke, alterniert die Folge zwischen 1 (für ungerade n) und n (für gerade n).
Benutzt man hier schon den Hinweis oder erst beim bestimmen des Grenzwertes?
Würde mich freuen, wenn mir hier jemand helfen könnte.
LG,
charmm
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 So 25.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Man zeige, dass in [mm]\IQ_2[/mm] gilt:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^n}{n}[/mm] = 0
>
> Hinweis: Beachte [mm]log_2(-1)[/mm]
> Zunächst wollte ich die Konvergenz zeigen:
>
> [mm]|\bruch{2^n}{n}|_2[/mm] = [mm]|2^n|_2 |\bruch{1}{n}|_2[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |2^n|_2[/mm] = 0
>
> ist klar, aber bei
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{1}{n}|_2[/mm]
>
> hänge ich. Soweit ich das überblicke, alterniert die Folge
> zwischen 1 (für ungerade n) und n (für gerade n).
Du meinst $n$ fuer $n = [mm] 2^m$, [/mm] also fuer Zweierpotenzen.
Es ist [mm] $\liminf_{n\to\inty} |1/n|_2 [/mm] = 1$ und [mm] $\limsup_{n\to\infty} |1/n|_2 [/mm] = [mm] \infty$. [/mm] Damit existiert der Grenzwert nicht.
Du musst schon [mm] $|2^n/n|_2$ [/mm] selber betrachten. Dazu hilft dir [mm] $|2^n|_2 [/mm] = [mm] 2^{-n}$ [/mm] und [mm] $|1/n|_2 \le [/mm] n$.
> Benutzt man hier schon den Hinweis oder erst beim bestimmen
> des Grenzwertes?
Erst bei Bestimmung des Grenzwertes.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Mo 26.01.2009 | | Autor: | charmm |
Hallo,
ach ja, L'Hospital. Damit hat man dann die Nullfolge.
Ich habe auch schon etwas weiter gemacht:
Wenn man den Hinweis beachtet sieht man, dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^n}{n} [/mm] = - [mm] \log_2(-1) [/mm] = 0
und man ist fertig.
Ist das dann so ok?
LG,
charmm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:22 Mo 26.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ach ja, L'Hospital. Damit hat man dann die Nullfolge.
Ja.
> Ich habe auch schon etwas weiter gemacht:
> Wenn man den Hinweis beachtet sieht man, dass
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^n}{n}[/mm] = - [mm]\log_2(-1)[/mm] = 0
>
> und man ist fertig.
>
> Ist das dann so ok?
Ja.
LG Felix
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