Reihe konv. und GW. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{2^{2k}}{5^{k+2}}+\bruch{(-1)^{k+1}}{6\cdot 3^{k-1}}) [/mm] |
Die Reihe ist konvergent... dies soll ich noch zeigen und den Grenzwert ermitteln.
Zunächst kann ich das ganze ja etwas vereinfachen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{2^{2k}}{5^{k+2}}+\bruch{(-1)^{k+1}}{ 3^{k+1}})
[/mm]
oder auch:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{2^{k}\cdot 2^{k}}{5^{k}\cdot 5\cdot 5}+\bruch{(-1)^{k}\cdot (-1)}{ 3^{k}\cdot 3})
[/mm]
Muss ich nun alles auf einen Nenner bringen und dann mit dem Quot-Krit weiterarbeiten ? Oder gibt es andere Wege?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Deine Reihe lässt sich schreiben in der Form
[mm] $a\summe_{n=0}^{\infty}x^n [/mm] + [mm] b\summe_{n=0}^{\infty}y^n$
[/mm]
mit $|x|,|y|<1$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] a\summe_{n=0}^{\infty}x^n [/mm] + [mm] b\summe_{n=0}^{\infty}y^n [/mm] $ |
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{2^{2k}}{5^{k+2}}+\bruch{(-1)^{k+1}}{6\cdot 3^{k-1}}) [/mm] $
Also so:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{2k}}{5^{k+2}}+ \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{6\cdot 3^{k-1}} [/mm] ?
Und jetzt beide mit Quot-Krit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a\summe_{n=0}^{\infty}x^n + b\summe_{n=0}^{\infty}y^n[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{2^{2k}}{5^{k+2}}+\bruch{(-1)^{k+1}}{6\cdot 3^{k-1}})[/mm]
>
> Also so:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{2k}}{5^{k+2}}+ \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{6\cdot 3^{k-1}}[/mm]
> ?
>
> Und jetzt beide mit Quot-Krit?
Damit kannst Du (manchmal) feststellen, ob eine Reihe konvergiert, aber den Reihenwert hast Du dann immer noch nicht.
Schon mal was von der geometrischen Reihe gehört ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast ja mit dem Tip gar nichts angefangen, deine Reihe hat nicht die vorgeschlagene Form.
Ein Zusatztip [mm] 2^2=4
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] 2^2=4 [/mm] $ |
Ich kann euch gerade überhaupt nicht folgen....
Die geometrische Reihe ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty} q^k
[/mm]
und ich könnte meine Reihe auch als
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{4^{k}}{5^{k+2}}+\bruch{(-1)^{k+1}}{ 3^{k+1}}) [/mm] $
schreiben... aber was ich jetzt machen muss oder wie mir das weiter hilft sehe ich leider immer noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{4^{k}}{5^{k+2}}+\bruch{(-1)^{k+1}}{ 3^{k+1}})= \bruch{1}{25}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{4}{5})^k -\bruch{1}{3}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-1}{3})^k$
[/mm]
Die beiden Reihen rechts sind konvergente geometrische Reihen, also (mit der bekannten Summenformel):
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{4^{k}}{5^{k+2}}+\bruch{(-1)^{k+1}}{ 3^{k+1}})= \bruch{1}{25}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{4}{5})^k -\bruch{1}{3}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-1}{3})^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{25}*\bruch{1}{1-\bruch{4}{5}}-\bruch{1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{-1}{3}} [/mm] = ........$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Di 12.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{4^{k}}{5^{k+2}}+\bruch{(-1)^{k+1}}{ 3^{k+1}})= \bruch{1}{25}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{4}{5})^k -\bruch{1}{3}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-1}{3})^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{25}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{4}{5}}-\bruch{1}{3}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{-1}{3}} [/mm] = ........ $ |
Hallo Fred,
wenn ich das so sehe verstehe ich es, bis ich das selbst drauf komme wird wohl noch etwas Zeit ins Land ziehen befürchte ich fast. Auf jeden Fall schonmal danke für die Hilfe, damit habe ich nun 2 geometrische Summen, bei denen |q| < 1. Nun kann ich für jede Summe soweit ich weiß den Grenzwert bestimmen indem ich [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] rechne.
Hier also
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{4}{5}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{5}} [/mm] = 5
und
[mm] \bruch{1}{1-(-\bruch{1}{3})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{4}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Was muss ich nun mit diesen beiden Grenzwerten machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Di 12.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ganzir!
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{4^{k}}{5^{k+2}}+\bruch{(-1)^{k+1}}{ 3^{k+1}})= \bruch{1}{25}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{4}{5})^k -\bruch{1}{3}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-1}{3})^k = \bruch{1}{25}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{4}{5}}-\bruch{1}{3}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{-1}{3}} = ........[/mm]
> Was muss ich nun mit diesen beiden Grenzwerten machen?
Mit den entsprechenden Faktoren multiplizieren (siehe oben) und die beiden Ergebnisse addieren ... fertig!
Gruß
Loddar
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