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| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^5*2^-^{n^3} [/mm] |
guten tag
kann ich hier das wurzelkriterium so anwenden [mm] \wurzel[n^3]{\bruch{n^5}{2^n^n^n}}=\bruch{n^(^5^/^n^n^n^)}{2}=\bruch{1}{2} [/mm] <1
und daher ist die reihe konv.
stimmt das?
bitte um hilfe
danke
mfg
freezer
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n^5*2^-^{n^3}[/mm]
> guten tag
>
> kann ich hier das wurzelkriterium so anwenden
> [mm]\wurzel[n^3]{\bruch{n^5}{2^n^n^n}}=\bruch{n^(^5^/^n^n^n^)}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> <1
Hallo,
nein:
fürs Wurzelkriterium betrachtet man die n-te Wurzel.
Gruß v. Angela
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danke
hm dachte ich mir...
wie soll man dann dieses bsp lösen?
mfg
freezer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 So 28.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hellfreezer,
das Quotientenkriterium müsste Dir hier weiterhelfen:
$$ [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n^3} \cdot (n+1)^5}{2^{{(n+1)}^3} \cdot n^5} \, [/mm] .$$ oder etwas anders geschrieben:
$$ [mm] \bruch{2^{n^3}}{2^{{n^3}+3 n^2 +3n +1}} \cdot (\bruch{n+1}{n})^5 [/mm] $$
Bei der Grenzwertbetrachtung für n gegen Unendlich liefert Dir der erste Multiplikator Null als Ergebnis, der zweite eine Eins, der Quotient ist also kleiner als 1 und demzufolge konvergiert die Reihe.
Viele Grüße,
Infinit
P.S.: Das Quotientenkriterium sagt doch, dass eine Reihe dann konvergiert, wenn es ein [mm] n_0 \ge 0 [/mm] und ein q zwischen 0 und 1 gibt, so dass gilt
$$ [mm] \vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_n}} \le [/mm] q < 1 $$ für alle [mm] n \ge n_0 [/mm]. Dies ist Angelas Pufferkriterium, wenn ich dies richtig verstehe. Bilde ich aus der Reihe eine neue Folge, deren Glieder genau dem Quotienten entsprechen und hat diese Folge für n gegen Unendlich einen Grenzwert kleiner 1, so ist die ursprüngliche Reihe konvergent. Genau diese Rechnung ist hier angegeben. Mathematisch schön formuliert beispielsweise im Bronstein als Bemerkung zum Quotientenkriterium.
Viele Grüße,
Infinit
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vielen dank
ich wäre nicht draufgekommen den lim aufzuteilen, aud (n+1/n)5 und auf den anderen teil....
schönes we noch!
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:01 So 28.01.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> das Quotientenkriterium müsste Dir hier weiterhelfen:
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n} = \bruch{2^{n^3} \cdot (n+1)^5}{2^{{(n+1)}^3} \cdot n^5} \, .[/mm]
> oder etwas anders geschrieben:
> [mm]\bruch{2^{n^3}}{2^{{n^3}+3 n^2 +3n +1}} \cdot (\bruch{n+1}{n})^5[/mm]
>
> Bei der Grenzwertbetrachtung für n gegen Unendlich liefert
> Dir der erste Multiplikator Null als Ergebnis, der zweite
> eine Eins, der Quotient ist also kleiner als 1 und
> demzufolge konvergiert die Reihe.
Hallo,
Du machst hier einen gravierenden Fehler - welcher immer wieder gern gemacht wird:
Beim Quotientenkriterium reicht es nicht festzustellen, daß der Bruch stets <1 ist. Man braucht eine konkrete Zahl [mm] \theta<1, [/mm] mit Bruch [mm] \le \theta [/mm] <1.
Da ich viel in Bildern denke zur Verdeutlichung dies: das [mm] \theta [/mm] ist wie ein Prellbock, welcher stets ein Stückchen vor dem Gleisende steht. Bis hierher und nicht weiter.
Gruß v. Angela
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O.K., ich war wohl etwas zu sehr auf dieses
> der Quotient ist also kleiner als 1 und
> demzufolge konvergiert die Reihe.
fixiert!
Ergänzend gebe ich noch die Abschätzung ohne Grenzübergang an
[mm] \bruch{2^{n^3}}{2^{{n^3}+3 n^2 +3n +1}} \cdot (\bruch{n+1}{n})^5 =\bruch{1}{2^{3 n^2 +3n +1}} \cdot (\bruch{n+1}{n})^5 \le \bruch{1}{2^{3 +3 +1}} \cdot (\bruch{n+1}{n})^5 =\bruch{1}{2^2} \cdot (\bruch{n+1}{2n})^5 \le \bruch{1}{2^2}
[/mm]
Gruß v. Angela
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> wie soll man dann dieses bsp lösen?
Hallo,
ich weiß ja nicht, wie weit Ihr in der Vorlesung seid und in welchem Umfeld diese Aufgabe gestellt ist.
Kann es sein, daß Ihr bereits das Integralvergleichskriterium anwenden könnt?
Ich meine, daß es damit geht.
Gruß v. Angela
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danke!
zur vorigen lsg: [mm] (\bruch{n+1}{n})^5 [/mm] * ....
der limes der beiden brüche ergibt 0*1=0<1 gilt das nicht für das quotientenkriterium?
integrieren haben wir schon ausführlich behandelt, aber damal bei den folgen und reihen hab ich noch nie was von einem
Integralvergleichskriterium gehört... (könntest du mir sagen was das ist, falls es nicht zu kompliziert ist)
danke
mfg
chris
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> danke!
>
> zur vorigen lsg: [mm](\bruch{n+1}{n})^5[/mm] * ....
>
> der limes der beiden brüche ergibt 0*1=0<1 gilt das nicht
> für das quotientenkriterium?
Hallo,
lies Dir bitte in einem schlauen Buch nochmal das Quotientenkriterium genau durch. (Klausur, Prüfung...)
Ich glaube übrigens, daß man hier sogar ein passendes [mm] \theta [/mm] finden kann.
Aber infinit bearbeitet gerade seinen Beitrag, wahrscheinlich klärt sich dann schon alles.
Gruß v. Angela
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