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Forum "Folgen und Reihen" - Reihe konvergent oder divergen
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Reihe konvergent oder divergen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Mo 30.06.2014
Autor: Bindl

Aufgabe
Prüfen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren.

e) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3n^7}{2^n} [/mm]

Hi zusammen,

hier mal meine bisherige Rechnung:
Ich benutze das QK.
[mm] \bruch{3(n+1)^7}{2^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{2^n}{3n^7} [/mm] = [mm] \bruch{3(n+1)^7}{2^n+2^1} [/mm] * [mm] \bruch{2^n}{3n^7} [/mm]

Ist [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^n+2^1 [/mm] richtig ?
Dann habe ich die 3 gekürzt und [mm] 2^n [/mm]

Dann habe ich folgendes:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)^7}{n^7} [/mm]

Kann ich nun [mm] (n+1)^7 [/mm] = [mm] n^7 [/mm] + [mm] 1^7 [/mm] schreiben und dann [mm] n^7 [/mm] kürzen ?

Dann hätte ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] 1^7 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Ist das korrekt ?

Ich habe Probleme mit dem kürzen bei Potenzen mit "+1" und "normalen" Potenzen und hoffe das meine Erklärung richtig ist.

        
Bezug
Reihe konvergent oder divergen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Mo 30.06.2014
Autor: reverend

Hallo Bindl,

nein, so geht das nicht, wie Du doch auch leicht nachrechnen kannst: [mm] 2^7=128, 2^6=64. [/mm]

Generell gilt [mm] x^a*x^b=x^{a+b} [/mm] Daraus kannst Du alles weitere herleiten.
Schau Dir lieber nochmal alle Regeln der Potenzrechnung an.

Übrigens ist das Quotientenkriterium hier genau das richtige, nur Deine Umformungen nicht.

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Reihe konvergent oder divergen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Mo 30.06.2014
Autor: Bindl

Hi,

ok [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^n [/mm] * [mm] 2^1. [/mm]

Muss ich für [mm] \bruch{(n+1)^7}{n^7} [/mm] bei [mm] n->\infty [/mm] gleich [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] = 1 ansehen ?

Bezug
                        
Bezug
Reihe konvergent oder divergen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Mo 30.06.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> Hi,
>  
> ok [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2^n[/mm] * [mm]2^1.[/mm]

Joa.

>  
> Muss ich für [mm]\bruch{(n+1)^7}{n^7}[/mm] bei [mm]n->\infty[/mm] gleich
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] = 1 ansehen ?

Um Himmels willen!!!

Los, wir schieben mal ein paar Zeichen hin und her

   [mm] \frac{n}{n}\longrightarrow\frac{\infty}{\infty}=1 [/mm]

   [mm] \frac{2n}{n}\longrightarrow\frac{\infty}{\infty}=1 [/mm]

   ...


Ne, also so gehts nicht!

Aber:

   [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^7}{n^7}=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\right)^7=\left(\lim_{n\to\infty}(1+1/n)\right)^7=1^7=1 [/mm]



Ich hoffe du verzeihst mir, aber: Es ist erschreckend, wie du mit deinen fürchterlichen Umformungen dennoch auf korrekte Ergebnisse gekommen bist! Und es ist erschreckend, dass du dich mit Reihen beschäftigst und dann dennoch meinst, dass [mm] (n+1)^7=n^7+1^7 [/mm] ist. Auh Backe!!!

Das sind Basics - die sollte man beherrschen. Auch, wenn man nahezu nix mit Mathe am Hut hat...

Was ist denn nun dein Resumee? Konvergenz oder Divergenz?

Liebe Grüße!

Bezug
                                
Bezug
Reihe konvergent oder divergen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Mo 30.06.2014
Autor: Bindl

Hi,

mein Ergebnis ist [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Das ist kleiner 1 und somit ist die Reihe absolut konvergent.

Bezug
                                        
Bezug
Reihe konvergent oder divergen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:02 Mo 30.06.2014
Autor: Richie1401

Genau so ist es, Bindl.

Bezug
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