Reihe log (1+x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi,
ich versuche die Konvergenz für die Reihe von log (1+x) nachzuvollziehen.
log (1+x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-)^{k} \bruch{1}{k+1} x^{k+1} [/mm] soll für [mm] |x|\le \bruch{1}{4} [/mm] konvergieren, dass man es einschachteln kann: [mm] \bruch{2}{3}|x|\le [/mm] |log(1+x)| [mm] \le \bruch{4}{3}|x|
[/mm]
kann mir das bitte jemand erläutern, wie ich es zur konvergenz bringe'?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Mit dem Wurzelkriterium sieht man, dass die Reihe
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{1}{k+1} x^{k+1} [/mm] $
für $|x|<1$ (absolut) konvergiert. Das leibnizkriterium liefert auch noch die Konvergenz im Punkt x=1
FRED
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Kannst du mir vielleicht zeigen, wie man da das Wurzelkriterium anwendet? ich habe Probleme mit dem wechselnden Vorzeichen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] $a_k:= (-1)^k\bruch{1}{k+1}x^{k+1}$. [/mm] Dann:
[mm] $\wurzel[k]{|a_k|}= \bruch{|x|*\wurzel[k]{|x|}}{\wurzel[k]{k+1}} \to [/mm] |x|$ für k [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
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