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Hallo !
Ich habe hier eine wirklich blöde Aufgabe, an die ich überhauptnich rankomme:
[a] = max [mm] \{n \in \IZ | n \le a \}
[/mm]
Sei nun 0 [mm] \le [/mm] a<1 und g<1 [mm] \in\IN [/mm] und [mm] a_{0}=0 [/mm] und
[mm] a_{i}=[g^{i}(a- \summe_{k=1}^{i-1}a_{k}g^{-k})], [/mm] i [mm] \ge1
[/mm]
Dann gilt:
1. 0 [mm] \le a_{i}
2. [mm] a=\summe_{i=0}^{ \infty}a_{i}g^{-i}
[/mm]
3. Die Reihendarstellung ist Eindeutig wenn f.a. [mm] a_{i} \not=g-1
[/mm]
Wie soll ich das denn zeigen ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
was meinst du mit [mm] $g<1\in \IN$? [/mm] Soll das heißen, dass [mm] $1\in\IN$ [/mm] und $g<1$, oder soll das heißen, dass [mm] $g\in \IN$ [/mm] mit $g<1$?
Max
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In der Darstellung wurde das zweite g wohl geschluckt !
Es muss natürlich heißen:
1 < g , g [mm] \in \IN
[/mm]
Eben war mir der Fehler bei dem Formelwirrwar nicht aufgefallen !
Achja, habe bei der Frage auch vergessen dazu zuschreiben, dass ich die Frage nur hier gestellt habe !
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo !
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> Ich habe hier eine wirklich blöde Aufgabe, an die ich
> überhauptnich rankomme:
>
> [a] = max [mm]\{n \in \IZ | n \le a \}[/mm]
>
> Sei nun 0 [mm]\le[/mm] a<1 und g<1 [mm]\in\IN[/mm] und [mm]a_{0}=0[/mm] und
>
> [mm]a_{i}=[g^{i}(a- \summe_{k=1}^{i-1}a_{k}g^{-k})],[/mm] i [mm]\ge1[/mm]
>
> Dann gilt:
> 1. 0 [mm]\le a_{i}
> 2. [mm]a=\summe_{i=0}^{ \infty}a_{i}g^{-i}[/mm]
>
> 3. Die Reihendarstellung ist Eindeutig wenn f.a. [mm]a_{i} \not=g-1[/mm]
>
> Wie soll ich das denn zeigen ???
>
also bei 1. Würde ich vielleicht versuchen, das mit vollständiger Induktion für $i [mm] \ge [/mm] 1$ zu zeigen. Für i = 1 ergibt sich:
[mm]a_{1}=[g^{i}(a- \summe_{k=1}^{1-1}a_{k}g^{-k})] = [g^{1}(a- 0* g^{-k})] = [g^{1} a] = 0 [/mm]
An der Stelle kommt mir Max' Nachfrage wieder in den Sinn: Wenn $g [mm] \in \IN$ [/mm] ist und $g < 1$, dann kann g nur 0 sein. Bist du dir sicher, dass das so stimmt?
Bis dahin erstmal,
Gruß Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo ihr beiden,
Sebastian hat schon gesagt, dass er [mm] $1
Ich habe auch sofort an vollständige Induktion gedacht, schaffe allerings den Induktionsschritt nicht, da ich auf [mm] $\lfloor (g^{i+1}-g)a_i\rfloor$ [/mm] komme. Daraus kann man leicht auf [mm] $0\le a_{i+1}
Gruß Max
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Mir wurde noch gesagt das es etwas mit g-adischer Entwicklung zu tun habe ich aber keine Ahnung habe was das ist und ob ich das jetzt auch so richtig geschrieben habe!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Max |
Ich kenne die ja eher unter ![[]](/images/popup.gif) $p$-adischen Zahlen, aber vielleicht haben die extra das $g$ genommen.
Max
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Vielen Dank für eure Mühen,
geholfen hat es zwar nicht, aber vielleicht hattet ja wenigstens ihr ein bisschen Spaß mit der Aufgabe !
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Ich habe zwar eure Mitteilungen zur Kenntnis genommen aber mich bringt es wirklich keinen Schritt weiter.
Könnt ihr mir nicht noch ein bißchen helfen?
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> [a] = max [mm]\{n \in \IZ | n \le a \}[/mm]
>
> Sei nun 0 [mm]\le[/mm] a<1 und 1<g [mm]\in\IN[/mm] und [mm]a_{0}=0[/mm] und
>
> [mm]a_{i}=[g^{i}(a- \summe_{k=1}^{i-1}a_{k}g^{-k})],[/mm] i [mm]\ge1[/mm]
>
> Dann gilt:
> 1. 0 [mm]\le a_{i}
Hallo,
zu diesem Punkt fiele mir folgendes ein:
Induktion.
i=1
Es ist [mm] a_{1}=[ga]. [/mm] 0 [mm] \le [/mm] a<1 ==> 0 [mm] \le [/mm] ga <g ==> 0 [mm] \le [ga]=a_{1}
i [mm] \to [/mm] i+1
[mm] a_{i+1}=[g^{i+1}(a- \summe_{k=1}^{i}a_kg^{-k})]
[/mm]
[mm] =[g(g^{i}(a- \summe_{k=1}^{i-1}a_kg^{-k})-a_{i})].
[/mm]
Nach Def. v. [mm] a_{i} [/mm] ist [mm] a_{i} \le g^{i}(a- \summe_{k=1}^{i-1}a_kg^{-k})
==> 0 [mm] \le g(g^{i}(a- \summe_{k=1}^{i-1}a_kg^{-k})-a_{i})
Ist doch immerhin ein Anfang.
Gruß v. Angela
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Nun zu 2.
|a- [mm] \summe_{k=1}^{m-1}a_{k}g^{-k} [/mm] |= [mm] \bruch{1}{g^m} |g^m(a- \summe_{k=1}^{m-1}a_{k}g^{-k}) [/mm] |
Aus 1. weiß man 0 [mm] \le a_{m} [/mm] < g, also 0 [mm] \le |g^m(a- \summe_{k=1}^{m-1}a_{k}g^{-k}) [/mm] |< g
==> 0 [mm] \le [/mm] |a- [mm] \summe_{k=1}^{m-1}a_{k}g^{-k} [/mm] |= [mm] \bruch{1}{g^m} |g^m(a- \summe_{k=1}^{m-1}a_{k}g^{-k}) [/mm] | [mm] \le \bruch{1}{g^m}g= \bruch{1}{g^{m+1}}
[/mm]
Nun [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}. [/mm] Man erhält
[mm] 0\le \limes_{m\rightarrow\infty}|a- \summe_{k=1}^{m-1}a_{k}g^{-k} [/mm] | [mm] \le \limes_{m\rightarrow\infty}\bruch{1}{g^{m+1}}=0
[/mm]
==> [mm] a=\limes_{m\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{m-1}a_{k}g^{-k}= \summe_{k=1}^{ \infty}a_{k}g^{-k}
[/mm]
Gruß v. Angela
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Was soll bei 3. gezeigt werden? Da fehlt doch irgendetwas.Wahrscheinlich soll es heißen: Die Darstellung ist eindeutig, wenn [mm] \exists [/mm] i : [mm] a_{i} \not=g-1. [/mm] Oder doch anders?
Angela
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> 3. Die Reihendarstellung ist Eindeutig wenn f.a. [mm]a_{i} \not=g-1[/mm]
Manches beantwortet sich selbst, wenn man genügend darüber nachdenkt:
natürlich ist gemeint, daß fast alle [mm] a_{i} \not=g-1.
[/mm]
Seien also nur endlich viele [mm] a_{i}=g-1.
[/mm]
Angenommen, man hat zwei verschiedene Darstellungen von a,
a= [mm] \summe_{i=1}^{ \infty}a_{i}g^{-i} [/mm] und a= [mm] \summe_{i=1}^{ \infty}b_{i}g^{-i}.
[/mm]
Sei m der kleinste Index, bei dem [mm] a_{i}\not=b_{i}.
[/mm]
Dann ist 0= [mm] \summe_{i=m}^{ \infty}(a_{i}-b_{i})g^{-i} [/mm]
==> [mm] 0=(a_{m}-b_{m}) [/mm] + [mm] \summe_{i=m+1}^{ \infty}(a_{i}-b_{i})g^{-i+m} [/mm]
Es ist 1 [mm] \le |a_{m}-b_{m} [/mm] | (denn [mm] a_{m},b_{m} \in \IN [/mm] sind ja verschieden)
= | [mm] \summe_{i=m+1}^{ \infty}(a_{i}-b_{i})g^{-i+m} [/mm] | [mm] \le \summe_{i=m+1}^{ \infty} |(a_{i}-b_{i}) |g^{-i+m}=\summe_{i=1}^{ \infty} |(a_{i+m}-b_{i+m}) |g^{-i} \le(g-1) \summe_{i=1}^{ \infty} g^{-i}=1
[/mm]
Also ist 1= [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} |(a_{i+m}-b_{i+m}) |g^{-i}.
[/mm]
Angenommen, es gäbe ein k mit [mm] |(a_{k+m}-b_{k+m}) [/mm] |<g-1.
==> 1= [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} |(a_{i+m}-b_{i+m}) |g^{-i}<(g-1) \summe_{i=1}^{ \infty} g^{-i}=1 [/mm] Widerspruch, also ist für alle i [mm] |(a_{i+m}-b_{i+m})|=g-1.
[/mm]
==> [mm] \forall [/mm] i : [mm] (a_{i}=0 \wedge b_{i}=g-1) \vee(a_{i}=g-1 \wedge b_{i}=1)
[/mm]
Da n.V. nur endl. viele [mm] a_{i}=g-1 [/mm] sind, gibt es ein k mit [mm] a_{m+k+i}=0 [/mm] für alle i ==> [mm] b_{m+k+i}=g-1 [/mm] f.a. i
Widerspruch zur Voraussetzung. Also gibt es nicht zwei verschiedene Reihendarstellungen, bei denen nur endlich viele Koeffizienten =g-1 sind.
Gruß v. Angela
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