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| Aufgabe | Es sei [mm] (a_{n})_{ n \in \IN } [/mm] eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen. Zeigen Sie:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] ist konvergent [mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty}2^k a_{2^k} [/mm] |
Zu beweisen ist dies mit vollständiger Induktion.
Leider habe ich absolut keine Ahnung, wie zumindest der Ansatz lautet eine Äuivalenz zu beweisen.
Könnte mir bitte jemand diesen Ansatz liefern oder einen Tipp geben?
Danke im Voraus
Lepkuchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Di 12.12.2006 | | Autor: | moudi |
Die [mm] $\Leftarrow$-Richtung [/mm] ist einfach, denn
[mm] $a_1\leq a_1$
[/mm]
[mm] $a_2+a_3\leq 2a_2$
[/mm]
[mm] $a_4+a_5+a_6+a_7\leq 4a_4$ [/mm] etc.
Daraus folge $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} \leq \summe_{k=0}^{\infty}2^k a_{2^k}$
[/mm]
Umgekehrt soll man die rechte Summe aufspalten:
[mm] $a_1+2a_2+4a_4+8_a8+\dots [/mm] = [mm] a_1+(a_2+2a_4+4a_8+\dots)+(a_2+2a_4+4a_8+\dots)$
[/mm]
Wegen
[mm] $a_2\leq a_2$
[/mm]
[mm] $2a_4\leq a_3+a_4$
[/mm]
[mm] $4a_8\leq a_5+a_6+a_7+a_8$ [/mm] etc.
Gilt [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}2^k a_{2^k}\leq [/mm] 2 [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}$.
[/mm]
mfG Moudi
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Momemt. [mm] \summe_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k} [/mm] ist ja offensichtlich eine Teilreihe von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}. [/mm] Wieso können diese denn aufeinmal gleich sein? Oder irre ich mich in irgendetwas ganz gewaltig?
Edit: Würde es eigentlich auch reichen, - wenn ich mit der obrigen Behauptung recht liege - einfach zu zeigen, dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k} [/mm] Teilreihe von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] ist?
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> Momemt. [mm]\summe_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k}[/mm] ist ja
> offensichtlich eine Teilreihe von [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}.[/mm]
Hallo!
Was meinst Du damit???
Es ist
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_1+a_2+a_3+... [/mm] und
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k}=a_1+2a_2+4a_4+...
[/mm]
> Wieso können diese denn aufeinmal gleich sein?
???
Aber Gleichheit ist auch nicht die Behauptung.
Die Behauptung lautet (auch wenn Du das in Deiner Aufgabenstellung nicht ausdrücklich schreibst):
Konvergiert die eine Reihe, dann auch die andere und umgekehrt. Über die jeweiligen Grenzwerte ist damit nichts gesagt. Es geht nur darum, ob es jeweils einen grenzwert gibt.
Gruß v. Angela
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