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| Aufgabe 1 | Sei f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} an(z-zo)^n [/mm] eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius und [mm] a1\not=0. [/mm] Zeige, dass es r>0 gibt, so dass f in
D(zo)={|z-zo|<r} injektiv ist. |
| Aufgabe 2 | | Bestimme alle [mm] z\in\IC, [/mm] für die Reihe [mm] \summe_{n\ge0} n(n+1)z^n [/mm] konvergiert, und berechne den Wert der Reihe für dieses z. |
hallo!
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mo 27.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei f(z)= [mm]\summe_{n=0}^{\infty} an(z-zo)^n[/mm] eine Potenzreihe
> mit positivem Konvergenzradius und [mm]a1\not=0.[/mm] Zeige, dass es
> r>0 gibt, so dass f in
> D(zo)={|z-zo|<r} injektiv ist.
>
> Bestimme alle [mm]z\in\IC,[/mm] für die Reihe [mm]\summe_{n\ge0} n(n+1)z^n[/mm]
> konvergiert, und berechne den Wert der Reihe für dieses z.
>
> kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Das sind zwei Aufgaben ^^
Zur ersten Aufgabe: sagt dir der Satz von der lokalen Umkehrbarkeit etwas?
Zur zweiten Aufgabe: leite doch mal die geometrische Reihe zweimal ab.
LG Felix
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Also die zweite Aufgabe ist jetzt soweit klar, danke!
Aber mit der ersten hab ivch mich noch nicht ganz angefreundet. der satz über lokale Umkehrfunktionen sagt mir etwas, aber wie kann ich den auf die Aufgabe anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also die zweite Aufgabe ist jetzt soweit klar, danke!
> Aber mit der ersten hab ivch mich noch nicht ganz
> angefreundet. der satz über lokale Umkehrfunktionen sagt
> mir etwas, aber wie kann ich den auf die Aufgabe anwenden?
Identifiziere [mm] $\IC$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^2$. [/mm] Was genau musst du zeigen, damit du den Satz verwenden kannst?
LG Felix
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Ich müsste zeigen, dass f stetig diffbar ist?
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Hallo.
Das ist ein großer, sehr wichtiger Satz der Analysis 2.
Schau dir genau die Voraussetzungen des Satzes an, dann dürfte alles Weitere kein Problem sein.
Gruß Elvis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Mi 29.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist R der Konvergenzradius der Potenzreihe, so ist f auf {z: [mm] |z-z_0|< [/mm] R }
holomorph, somit auch beliebig oft differenzierbar. Damit ist f stetig differenzierbar
FRED
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Aber was muss ich denn dann zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mi 29.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch [mm] a_1 [/mm] = [mm] f'(z_0) \not= [/mm] 0
Was sagt der Umkehrsatz dazu ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mi 29.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es ist doch [mm]a_1[/mm] = [mm]f'(z_0) \not=[/mm] 0
>
> Was sagt der Umkehrsatz dazu ?
Wenn man den Umkehrsatz nur ueber [mm] $\IR$ [/mm] hat, muss man erstmal zeigen dass die Determinante der Jacobimatrix von $f$ an der Stelle [mm] $z_0$ [/mm] ebenfalls nicht verschwindet. (Was nicht schwer ist, aber man muss erstmal nachrechnen was diese ueberhaupt ist... -- und was diese mit [mm] $f'(z_0)$ [/mm] zu tun hat.)
Irgendwie scheint sich der Fragesteller davor druecken zu wollen... Also. Schreibe $f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y)$ und fasse dies als Abbildung $f : [mm] \IR^2 \to \IR^2$, [/mm] $(x, y) [mm] \mapsto [/mm] (u(x, y), v(x, y))$ auf. Was ist die Jacobimatrix in [mm] $z_0$? [/mm] Was ist die Beziehung dieser zu [mm] $f'(z_0)$?
[/mm]
LG Felix
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Hi!
Ich mach grad dieselbe Aufgabe und hatte auch die Idee mit dem Ableiten,
[mm] (\summe_{n=0}^{\infty} z^{n})'' [/mm] = [mm] \summe_{n=2}^{\infty} [/mm] n(n-1) [mm] z^{n-2} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n(n+1) [mm] z^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] n(n+1) [mm] z^{n-1}
[/mm]
aber erstens passt das bei mir nicht ganz (der Exponent stimmt nicht) und zum anderen gilt doch nur dass der Konvergenzradius der Ableitung gleich ist, nicht aber der Grenzwert.
Den Konvergenzradius hab ich mit dem limsup... berechnet und 1 erhalten, desweiteren habe ich gezeigt, dass die Reihe für z=1 divergiert und ich vermute das es auf dem Rest des Einheitskreises konvergiert, aber wie kann ich das zeigen?
Danke im voraus
Dustin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Di 28.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
> Ich mach grad dieselbe Aufgabe und hatte auch die Idee mit
> dem Ableiten,
>
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty} z^{n})''[/mm] = [mm]\summe_{n=2}^{\infty}[/mm]
> n(n-1) [mm]z^{n-2}[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n(n+1) [mm]z^{n-1}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] n(n+1) [mm]z^{n-1}[/mm]
>
Es ist:
[mm] $z(\summe_{n=0}^{\infty} z^{n})'' [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] n(n+1) [mm] z^{n} [/mm] $
>
> aber erstens passt das bei mir nicht ganz (der Exponent
> stimmt nicht) und zum anderen gilt doch nur dass der
> Konvergenzradius der Ableitung gleich ist, nicht aber der
> Grenzwert.
>
> Den Konvergenzradius hab ich mit dem limsup... berechnet
> und 1 erhalten, desweiteren habe ich gezeigt, dass die
> Reihe für z=1 divergiert und ich vermute das es auf dem
> Rest des Einheitskreises konvergiert, aber wie kann ich das
> zeigen?
Gar nicht, denn für|z|=1 ist
[mm] (n(n+1)z^n) [/mm] keine Nullfolge !!
FRED
>
> Danke im voraus
>
> Dustin
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Hi!
Das mit der Nullfolge hatte ich übersehen.
Falls hier ein Maple-Anwender ist: Warum schmeißt Maple mir dann für den Wert der Reihe mit z=i
[mm] \bruch{-2i}{(i-1)^3}
[/mm]
raus?
GREEEtz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Di 28.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Wahrscheinlich wurde stur
$ [mm] z(\summe_{n=0}^{\infty} z^{n})'' [/mm] $
an der Stelle $z=i$ ausgewertet
FRED
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