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Hi, wie kann ich die Summe aus
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k(k+2} [/mm] errechnen?
Anika
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Hallo Anika,
> Hi, wie kann ich die Summe aus
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k(k+2}[/mm] errechnen?
Die beiden Zauberworte heißen hier Partialbruchzerlegung und Teleskopsumme
Ansatz: [mm] $\frac{1}{k(k+2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+2}$
[/mm]
Das berechne erst einmal.
Dann bedenke, dass [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+2)}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{A}{k}+\frac{B}{k+2}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{A}{k}+\frac{B}{k+2}\right)}_{=:S_n}$ [/mm] ist.
Stelle mal eine solche n-te Partialsumme [mm] $S_n$ [/mm] auf, du wirst sehen, das gibt eine nette Teleskopsumme, in der sich das meiste weghebt.
Mit dem Grenzübergang [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$ [/mm] erhältst du den gesuchten Reihenwert
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> Anika
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Gruß
schachuzipus
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Hi ich komme, da leider nicht weiter...
$ [mm] \frac{1}{k(k+2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+2} [/mm] $
ich hab versucht es aufzulösen,
[mm] \bruch{1}{k+2}=\bruch{1}{3}=3A
[/mm]
[mm] \frac{1}{K(k+2)}+\bruch{3A}{K}=\bruch{B}{K+2}
[/mm]
[mm] \frac{1}{K(k+2)}+\bruch{3A(K+2)}{K(K+2)}=
[/mm]
[mm] \bruch{1+3AK+6K}{K(K+2)}
[/mm]
Jetzt müsste ich doch für K -2 einsetzen oder? Nur wenn ich dies tuhe ist der Nenner 0 und das geht ja nicht..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anika!
Ich verstehe nicht ganz, was du hier rechnest ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Es gilt:
[mm] $$\frac{1}{k*(k+2)} [/mm] \ = \ [mm] \frac{A}{k}+\frac{B}{k+2} [/mm] \ = \ [mm] \frac{A*(k+2)}{k*(k+2)}+\frac{B*k}{(k+2)*k} [/mm] \ = \ [mm] \frac{A*k+2A+B*k}{k*(k+2)} [/mm] \ = \ [mm] \frac{(A+B)*k+2A}{k*(k+2)}$$
[/mm]
Mittels Koeffizientenvergleich für $1 \ = \ [mm] \red{0}*k+\blue{1} [/mm] \ = \ [mm] \red{(A+B)}*k+\blue{2A}$ [/mm] folgt:
[mm] $$\red{0} [/mm] \ = \ [mm] \red{(A+B)}$$
[/mm]
[mm] $$\blue{1} [/mm] \ = \ [mm] \blue{2A}$$
[/mm]
Wie lautet die Lösung dieses Gleichungssystems?
Gruß
Loddar
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Entschuldige, ich kann dem aber nicht folgen. Wir haben die Parzialbruchzerlegung immer auf meine gezeigte Art und Weise gerechnet.
[mm] \frac{(A+B)\cdot{}k+2A}{k\cdot{}(k+2)} [/mm] dies ist ja klar aber woher nimmst du
1 = [mm] \red{0}\cdot{}k+\blue{1} [/mm] = [mm] \red{(A+B)}\cdot{}k+\blue{2A}
[/mm]
[mm] \red{0} [/mm] = [mm] \red{(A+B)} [/mm]
1=2A
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Hallo AnikaBrandes,
> Entschuldige, ich kann dem aber nicht folgen. Wir haben die
> Parzialbruchzerlegung immer auf meine gezeigte Art und
> Weise gerechnet.
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> [mm]\frac{(A+B)\cdot{}k+2A}{k\cdot{}(k+2)}[/mm] dies ist ja klar
> aber woher nimmst du
>
[mm] $1=\red{0}\cdot{}k+\blue{1}= \red{(A+B)}\cdot{}k+\blue{2A}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $\ 1=2A$ und [mm] $\red{0}=\red{(A+B)}$ [/mm]
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Lies bei Loddar nach:
[mm] $\frac{1}{k\cdot{}(k+2)} [/mm] \ = \ [mm] \frac{\red{0}\cdot{}k+\blue{1}}{k\cdot{}(k+2)}= [/mm] \ [mm] \frac{(A+B)\cdot{}k+2A}{k\cdot{}(k+2)}$ [/mm]
Die beiden Brüche stimmen im Nenner überein, daher müssen auch die Zähler gleich sein.
Gruß informix
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