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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 So 03.01.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | | Konvergiert diese reihe : [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}} [/mm] |
Also ich hab erst mal den bruch erweitert. Also zähler und nenner quadriert.
Und dann das Quotientenkriterium benutzt.
Mein Endergebnis ist : [mm] \bruch{2k^{6}-12k^{5}+18k^{4}+k^{2}-6k+9}{2k^{6}-8k^{5}-16k^{4}+40k^{3}+131k^{2}+104k+48}
[/mm]
Nur ist das kleiner 1 ??
Der gleiche NennerZählerGrad verunsichert mich hier etwas.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 So 03.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ayame!
Siehe mal hier; da wurde vor kurzem dieselbe Aufgabe behandelt.
Gruß
Loddar
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Hi,
> Konvergiert diese reihe : [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}}[/mm]
>
> Also ich hab erst mal den bruch erweitert. Also zähler und
> nenner quadriert.
Was nun: hast du erweitert, oder einfach Zähler und Nenner getrennt quadriert? Das wäre nämlich keine Erweiterung, sondern falsch.
> Und dann das Quotientenkriterium benutzt.
>
> Mein Endergebnis ist :
> [mm]\bruch{2k^{6}-12k^{5}+18k^{4}+k^{2}-6k+9}{2k^{6}-8k^{5}-16k^{4}+40k^{3}+131k^{2}+104k+48}[/mm]
>
> Nur ist das kleiner 1 ??
> Der gleiche NennerZählerGrad verunsichert mich hier etwas.
Zurecht. Der GW ist 1 wegen demselben Zähler-Nenner-Grad und somit das QK nicht aussagekräftig. Welche Kriterien kennst du noch? Probier es mit dem ein oder anderen mal aus.
Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 03.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Kann ich es enn mit dem Wurzelkriterium machen ?
Also : [mm] \wurzel{\bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{k}-2}{\wurzel{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}}} \le \bruch{\wurzel{k}-2}{\wurzel{k^{2}+k^{2}}} [/mm] < 1
somit hätte ich die konvergenz bewiesen. ist das so richtig ?
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du musst die $k$-te Wurzel ziehen! Hier muss mit dem Minorantenkriterium gearbeitet werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 03.01.2010 | | Autor: | Ayame |
ich brauch ja eine reihe die größer ist als meine aber konvergiert.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}} \le [/mm] Folge die konvergiert
Erst dachte ich an [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}} [/mm] aber meine reihe ist größer also diese.
ich komm einfach nicht auf eine geeignete majorante
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 So 03.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich brauch ja eine reihe die größer ist als meine aber
> konvergiert.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}} \le[/mm]
> Folge die konvergiert
Ja, für eine Majorante brauchst du Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} a_k$ [/mm] mit
[mm] \bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}} \le a_k [/mm]
Da die linke Seite ein Bruch ist, kannst du mal versuchen, den Zähler durch etwas größeres zu ersetzen und den Nenner durch etwas kleineres. Also: was wäre ein einfacherer Ausdruck als [mm] $(\wurzel{k}-2)^{2}$, [/mm] der [mm] $\ge(\wurzel{k}-2)^{2}$ [/mm] ist?
Noch ein Tipp: [mm] $\wurzel{k^{4}+1} [/mm] > [mm] k^2$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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