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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Do 24.11.2011 | | Autor: | Benz |
| Aufgabe | untersuche die Folgenden Reihen auf konvergenz
a) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} (-1)^n^-^1 \bruch{1-n^2}{n^2(1+n)}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(3^n^+^1)^2}{17\times2^3^n} [/mm] |
meine erste frage ist kann ich bei beiden das quotientenkriterium anwenden, wenn nicht welches empfiehlt sich bei den beiden reihen?
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Hallo Benz,
> untersuche die Folgenden Reihen auf konvergenz
>
> a) [mm]\summe_{n=2}^{\infty} (-1)^n^-^1 \bruch{1-n^2}{n^2(1+n)}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(3^n^+^1)^2}{17\times2^3^n}[/mm]
>
> meine erste frage ist kann ich bei beiden das
> quotientenkriterium anwenden, wenn nicht welches empfiehlt
> sich bei den beiden reihen?
Sicher kannst Du bei beiden Reihen das Quotientenkriterium anwenden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Do 24.11.2011 | | Autor: | Benz |
ok bei a) bin ich dann erstmal hier :
[mm] \vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{1-(n+1)^2}{(n+1)^2\times(n+2)}\times\bruch{n^2(n+1)}{1-n^2}
[/mm]
und bei b)
[mm] \vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{(3^n^+^2)^2}{17\times2^3^n^+^1}\times \bruch{17\times2^3^n}{(3^n^+^1)^2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Do 24.11.2011 | | Autor: | Benz |
stimmt das bis dahin?
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Hallo Benz,
> stimmt das bis dahin?
>
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo Benz,
> ok bei a) bin ich dann erstmal hier :
>
> [mm]\vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-(n+1)^2}{(n+1)^2\times(n+2)}\times\bruch{n^2(n+1)}{1-n^2}[/mm]
>
> und bei b)
>
> [mm]\vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(3^n^+^2)^2}{17\times2^3^n^+^1}\times \bruch{17\times2^3^n}{(3^n^+^1)^2}[/mm]
>
Bilde jetzt den Grenzwert für [mm]n \to \infty[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Do 24.11.2011 | | Autor: | Benz |
sorry das ich jetzt so dumm frage aber was meinst du mit bilde den grennzwert $ n [mm] \to \infty [/mm] $ ?
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Hallo Benz,
> sorry das ich jetzt so dumm frage aber was meinst du mit
> bilde den grennzwert [mm]n \to \infty[/mm] ?
Durch Ausklammern eines Faktors im Zähler und Nenner
erhält man Nullfolgen und kann somit den Grenzwert bestimmen.
Der Faktor muss im Zähler und Nenner derselbe sein.
Üblicherweise wird die höchste Potenz im Nenner gesucht.
Das ist dann der ausklammernde Faktor.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 24.11.2011 | | Autor: | Benz |
ok dann bekomme ich erstmal bei a)
[mm] \bruch{1-2_{n}}{7+5{n}}\times1
[/mm]
und bei b)
[mm] \bruch{9^n^+^2}{17\times2^3^n^+^1}\times\bruch{17\times2^3^n}{(3^n^+^1)^2}
[/mm]
hast du das so gemeint?
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Hallo Benz,
> ok dann bekomme ich erstmal bei a)
>
> [mm]\bruch{1-2_{n}}{7+5{n}}\times1[/mm]
>
> und bei b)
>
> [mm]\bruch{9^n^+^2}{17\times2^3^n^+^1}\times\bruch{17\times2^3^n}{(3^n^+^1)^2}[/mm]
>
> hast du das so gemeint?
Leider nein.
Poste dazu Deine Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Do 24.11.2011 | | Autor: | Benz |
a) der erste schritt
[mm] \bruch{1-(n^2+2n+1)}{(n^2+2n+1)(n+2)}\times\bruch{n^2+n^3}{1-n^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1-n^2-2n-1}{n^3+4n^2+5n+2}\times\bruch{n^2+n^3}{1-n^2}
[/mm]
und dann kommt dann halt das von vorhin
[mm] b)\bruch{(3^n^+^2)^2}{17\times2^3^n^+^1}\times\bruch{17\times2^3^n}{(3^n^+^1)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{17\times2}\times\bruch{17\times1}{1}
[/mm]
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Hallo Benz,
> a) der erste schritt
>
> [mm]\bruch{1-(n^2+2n+1)}{(n^2+2n+1)(n+2)}\times\bruch{n^2+n^3}{1-n^2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1-n^2-2n-1}{n^3+4n^2+5n+2}\times\bruch{n^2+n^3}{1-n^2}[/mm]
>
Hier kannst Du den Faktor [mm]n^{5}[/mm] ausklammern,
damit Du Nullfolgen bekommst.
> und dann kommt dann halt das von vorhin
>
> [mm]b)\bruch{(3^n^+^2)^2}{17\times2^3^n^+^1}\times\bruch{17\times2^3^n}{(3^{n
+1})^2}[/mm]
Hier muss es doch heissen:
[mm]\bruch{(3^{n+2})^2}{17\times2^{3\left(n+1\right)}}\times\bruch{17\times2^{3n}}{(3^{n+1})^2}[/mm]
> [mm]=\bruch{3}{17\times2}\times\bruch{17\times1}{1}[/mm]
Damit auch hier:
[mm]=\bruch{3^{\blue{2}}}{17\times2^{\blue{3}}}\times\bruch{17\times1}{1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Do 24.11.2011 | | Autor: | Benz |
bei a) wie kommst du auf [mm] n^5 [/mm] der größte ist doch [mm] n^3
[/mm]
und bei b) wie bist du am ende dann auf das hier gekommen
$ [mm] =\bruch{3^{\blue{2}}}{17\times2^{\blue{3}}}\times\bruch{17\times1}{1} [/mm] $?
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Hallo Benz,
> bei a) wie kommst du auf [mm]n^5[/mm] der größte ist doch [mm]n^3[/mm]
>
Hier hast Du im Nenner ein Produkt von 3 Faktoren.
Der höchstens Exponent im ersten und letzten Faktor ist jeweils 2.
Im mittleren Faktor ist der Exponent 1, so dass der
Exponent des Nenners 2+1+2=5 ist.
Daher kann hier [mm]n^{5}[/mm] ausgeklammert werden.
> und bei b) wie bist du am ende dann auf das hier gekommen
> [mm]=\bruch{3^{\blue{2}}}{17\times2^{\blue{3}}}\times\bruch{17\times1}{1} [/mm]?
Ausgehend von:
[mm] \bruch{(3^{n+2})^2}{17\times2^{3\left(n+1\right)}}\times\bruch{17\times2^{3n}}{(3^{n+1})^2}[/mm]
und der Kenntnis, dass [mm]\left(x^{y}\right)^{z}=x^{y*z}[/mm]
schreibt sich das dann so:
[mm] \bruch{3^{2n+4}}{17\times2^{3n+3\right)}}\times\bruch{17\times2^{3n}}{3^{2n+2}}[/mm]
Dann kommt hier ein weiteres Potentzgesetz zum Tragen: [mm]\bruch{x^{y}}{x^{z}}=x^{y-z}[/mm]
Das ergibt dann:
[mm] \bruch{3^{2}}{17\times2^{3\right)}}\times\bruch{17\times 1}{1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Benz |
sorry ich raff das irgendwie nicht mit [mm] n^5 [/mm] kannst du mir zeigen wie es geht habs irgendwie nie gelernt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Fr 25.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Der Ausdruck
$ [mm] =\bruch{1-n^2-2n-1}{n^3+4n^2+5n+2}\times\bruch{n^2+n^3}{1-n^2} [/mm] $
ist von der Form [mm] \bruch{-n^5+....}{-n^5+....}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Fr 25.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> untersuche die Folgenden Reihen auf konvergenz
>
> a) [mm]\summe_{n=2}^{\infty} (-1)^n^-^1 \bruch{1-n^2}{n^2(1+n)}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(3^n^+^1)^2}{17\times2^3^n}[/mm]
>
> meine erste frage ist kann ich bei beiden das
> quotientenkriterium anwenden, wenn nicht welches empfiehlt
> sich bei den beiden reihen?
Bei a) wirst Du mit dem Quotientenkriterium zu keiner Entscheidung kommen !
Zeige: [mm] (-1)^n^-^1 \bruch{1-n^2}{n^2(1+n)}= (-1)^n(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2}) [/mm]
Klingelts ?
bei b) hast du es einfacher mit dem Wurzelkriterium
[mm] \bruch{(3^n^+^1)^2}{17\times2^3^n}= \bruch{9^n^+^1}{17*8^n}
[/mm]
FRED
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