Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Für x [mm] \in \IR [/mm] definiert man [mm] x^{+} [/mm] = max{0,x}, [mm] x^{-} [/mm] = - min {0,x}
a) Zeigen Sie: Wenn [mm] \summe_{k=1}^{\infty} x^{k} [/mm] konvergent, aber nicht absolut konvergent ist, dann gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} x_{k}^{+} [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} x_{k}^{-} [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
b) Zeigen Sie: Wenn [mm] \summe_{k=1}^{\infty} x^{k} [/mm] konvergent, aber nicht absolut konvergent ist, dann existiert zu jedem x [mm] \in \IR [/mm] eine bijektive Abbildung [mm] \phi [/mm] : [mm] \IN \rightarrow \IN [/mm] mit
[mm] \summe_{k=1}^{n} x_{\phi (n)} [/mm] = x. |
Hallo,
ich komme gerad bei beiden Teilaufgaben der oben genannten Aufgabe nicht weiter.
Ich habe eine Reihe, die sowohl nach oben als auch nach unten divergieren soll. Wir hatten jetzt schon diverse Konvergenzkriterien für Reihen (Verdichtungssatz, Leibnizkriterium, trivales Kriterium für Reihen, etc. und pp), aber ich wüsste jetzt nicht direkt, wie ich bei dieser Aufgabe vorzugehen hätte.
Ich hoffe einige Hinweise und Erläuterungen bzgl. der Aufgabe zu kriegen,
besten Dank
grüße,
zjay
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 So 25.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Für x [mm]\in \IR[/mm] definiert man [mm]x^{+}[/mm] = max{0,x}, [mm]x^{-}[/mm] = -
> min {0,x}
>
> a) Zeigen Sie: Wenn [mm]\summe_{i=1}^{\infty} x^{k}[/mm] konvergent,
> aber nicht absolut konvergent ist,
Da stimmt doch etwas nicht !
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} x^{k}[/mm] konv. genau dann, wenn |x|<1 ist. Dann ist die Konvergenz auch absolut !
D.h., der Fall , dass [mm]\summe_{i=1}^{\infty} x^{k}[/mm] konvergiert, aber nicht absolut kon. tritt gar nicht ein !
FRED
> dann gilt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} x_{k}^{+}[/mm] = [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} x_{k}^{-}[/mm] = [mm]\infty.[/mm]
>
> b) Zeigen Sie: Wenn [mm]\summe_{i=1}^{\infty} x^{k}[/mm] konvergent,
> aber nicht absolut konvergent ist, dann existiert zu jedem
> x [mm]\in \IR[/mm] eine bijektive Abbildung [mm]\phi[/mm] : [mm]\IN \rightarrow \IN[/mm]
> mit
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{\phi (n)}[/mm] = x.
> Hallo,
>
> ich komme gerad bei beiden Teilaufgaben der oben genannten
> Aufgabe nicht weiter.
>
> Ich habe eine Reihe, die sowohl nach oben als auch nach
> unten divergieren soll. Wir hatten jetzt schon diverse
> Konvergenzkriterien für Reihen (Verdichtungssatz,
> Leibnizkriterium, trivales Kriterium für Reihen, etc. und
> pp), aber ich wüsste jetzt nicht direkt, wie ich bei
> dieser Aufgabe vorzugehen hätte.
>
> Ich hoffe einige Hinweise und Erläuterungen bzgl. der
> Aufgabe zu kriegen,
>
> besten Dank
>
> grüße,
>
> zjay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
Diesbezüglich hatte ich in der Übungsgruppe auch eine Frage gestellt.
Ich kann mich leider nur noch vage daran erinnern was mir geantwortet wurde:
Diese Reihe kann nicht absolut konvergent sein, weil dies mit den Bedingungen der Aufgabe nicht vereinbar sei. D.h. wir sollen nur den Fall der absoluten Konvergenz ausschließen.
Bedeutet die Definition [mm] x^{+} [/mm] = max {0,x}, dass das Maximum für alle positiven x-Werte in der Menge max{0,x} liegt und immer der größere der beiden Werte das Maximum ist? und analog für alle negativen x-Werte in der Menge -min{0,x}?
zu zeigen ist, dass wenn die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] konvergent (aber nicht absolut konvergent) ist, dass die beiden Partialsummen [mm] \summe_{k=1}^{\infty} x^{+}_{k} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} x^{-}_{k} [/mm] unbeschränkt sind?
Dann ist diese Aufgabe ja "umgekehrt" zu einem Beispiel aus meinem Buch, wo eine harmonische Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] vorliegt , die einzelnen Reihenglieder gegen 0 konvergieren, aber die Reihe trotzdem divergiert.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 So 25.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Diesbezüglich hatte ich in der Übungsgruppe auch eine
> Frage gestellt.
>
> Ich kann mich leider nur noch vage daran erinnern was mir
> geantwortet wurde:
>
> Diese Reihe kann nicht absolut konvergent sein, weil dies
> mit den Bedingungen der Aufgabe nicht vereinbar sei. D.h.
> wir sollen nur den Fall der absoluten Konvergenz
> ausschließen.
Das ist bei $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} x^{k} [/mm] $ konvergent völliger Unsinn.
FRED
>
> Bedeutet die Definition [mm]x^{+}[/mm] = max {0,x}, dass das Maximum
> für alle positiven x-Werte in der Menge max{0,x} liegt und
> immer der größere der beiden Werte das Maximum ist? und
> analog für alle negativen x-Werte in der Menge -min{0,x}?
>
> zu zeigen ist, dass wenn die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm]
> konvergent (aber nicht absolut konvergent) ist, dass die
> beiden Partialsummen [mm]\summe_{k=1}^{\infty} x^{+}_{k}[/mm] und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} x^{-}_{k}[/mm] unbeschränkt sind?
>
> Dann ist diese Aufgabe ja "umgekehrt" zu einem Beispiel aus
> meinem Buch, wo eine harmonische Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm] vorliegt , die einzelnen
> Reihenglieder gegen 0 konvergieren, aber die Reihe trotzdem
> divergiert.
>
> gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
Mhm, ich verstehe deine Argumentation, aber fühle mich bei weitem noch nicht in der Lage mit dem Prof zu argumentieren.
Gibst es keine andere Möglichkeit an diese Aufgabe heranzugehen als zu schreiben, dass die Aufgabe nicht möglichst ist?
Die Korrektoren wollen mit Sicherheit, dass ich etwas anderes als dies hinschreibe =/
grüße,
zjay
|
|
|
| |
|
Hiho,
vorweg: Auch Aufgabensteller und Professoren machen Fehler! Und es ist immer gut, sie darauf hinzuweisen.
In diesem Fall hier hast du die Aufgabe ja nur einfach falsch wiedergegeben.
Daher hat sich das ja erledigt.
Mach dir nur nebenbei mal klar, warum das was fred geschrieben hat, richtig ist.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
Tschuldigung. Ich sehe jetzt erst, dass ich einen eklatanten fehler bei der Aufgabe gemacht habe. Es heißt
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} x^{+}_{k} [/mm] = [mm] \infty [/mm] und nicht [mm] \summe_{k=1}^{\infty} x^{k}
[/mm]
Somit müsste diese Aufgabe auch lösbar sein, oder?
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Somit müsste diese Aufgabe auch lösbar sein, oder?
ist sie auch.
Vorweg: Ist dir denn der Unterschied klar zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz?
Kennst du eine Reihe, die konvergent aber nicht absolut konvergent ist?
Dann: Betrachte die beiden Teilreihen mal und nimm folgende Fälle an.
1.) Beide kleiner Unendlich
2.) Genau eins von beiden kleiner Unendlich
Was folgt daraus für die ursprüngliche Reihe?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
Ja, absolute Konvergenz ist quasi eine verschärfte Form der Konvergenz, wo [mm] \summe_{i=1}^{n}|a_{n}| [/mm] konvergieren muss, damit absolute Konvergenz vorliegt.
Als Beispiel kann ich eine aufgabe nehmen, wo ich Konvergenz nachgewiesen habe, diese aber nicht absolut konvergent ist.
Da hätte ich übrigens auch eine Rückfrage:
[mm] \summe_{k=3}^{\infty} 1/k^{3} \vektor{k \\ 3 }
[/mm]
mithilfe des Quotientenkriteriums habe ich nachgewiesen, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist, da für [mm] k\rightarrow \infty k^{3} [/mm] / [mm] k^{3}-3k-2 [/mm] der Nenner größer ist als der Zähler und soweit ich weiß muss für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|a_{k}| [/mm] folgendes gelten: 0 < [mm] |a_{k} [/mm] |< 1.
Um zu zeigen, dass diese Reihe konvergiert muss doch nur der Grenzwert bestimmt werden, oder? Der lautet für n [mm] \rightarrow \infty \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1/6 -1/2k [mm] +1/(3k^{2}) [/mm] = 1/6.
So, gleich mache ich mir erstmal Gedanken zu deiner Aussage. Mal schauen wie weit ich komme.
mfg,
zjay
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
Wenn beide Partialsummen gegen einen Wert konvergieren, der kleiner ist als unendlich, dann besitzen doch beide einen Grenzwert, gegen den sie konvergieren, oder?
Und was ist denn in dem Fall, dass einer der Partialsummen kleiner als unendlich ist? Der Fall kommt mir bekannt vor, ich versuche das mal nachzuschlagen .. aber die Frage sei jetzt mal in den Raum gestellt, da ich das vermutlich nicht in meinem Buch finden werde.
Je länger ich über diese Aufgabe nachdenke, desto seltsamer erscheint sie mir:
Eine Reihe ist konvergent, aber seine Partialsummen divergieren bestimmt ..
Aww, von der logischen Warte aus scheint dies verrückt, aber ich meine irgendwo auch darüber etwas gelesen zu haben ... auch das versuche ich mal nachzuschlagen.
mfg,
edit: siehe mitteilung oben
zjay
|
|
|
| |
|
Hiho,
so, jetzt deine beiden Dinge mal getrennt beantworten.
Eine Bitte: War deine Mitteilung eine Frage? Dann stell sie bitte auch als solche, das macht das Antworten einfacher.
Zuerst zu deiner Frage:
> Wenn beide Partialsummen gegen einen Wert konvergieren, der
> kleiner ist als unendlich, dann besitzen doch beide einen
> Grenzwert, gegen den sie konvergieren, oder?
In der Aufgabe ist KEINE Rede von Partialsummen.
Das sind andere Sachen, welche?
Hier werden die Reihen aller positiven bzw. negativen Summanden betrachtet.
> Je länger ich über diese Aufgabe nachdenke, desto seltsamer erscheint sie mir:
> Eine Reihe ist konvergent, aber seine Partialsummen divergieren bestimmt ..
Nochmal: Es sind keine Partialsummen!
Eine Reihe konvergiert, genau dann, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert!
Nun zu deiner Mitteilung, du hast nämlich einen fundamentalen Fehler drin:
Die von dir angegebene Reihe konvergiert genau dann, wenn sie absolut konvergiert. Es sind nämlich alle Summanden dabei positiv, d.h. [mm] $\summe a_n [/mm] = [mm] \summe |a_n|$.
[/mm]
Daraus folgt sofort das von mir geschriebene.
Hast du nachgewiesen mit dem Quotientenkriterium, dass die Reihe nicht konvergiert, ist sie eben nicht konvergent!
Wie hast du denn die Partialsummen berechnet?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:34 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
Ach, stimmt. Dann sind es keine Partialsummen, sondern Teilfolgen wie bei [mm] (-1)^{k} [/mm] die Teilfolgen [mm] (-1)^{2k} [/mm] und [mm] (-1)^{2k+1} [/mm] ? In diesem Fall vllt "Teilreihen"? Ich hoffe ich bringe hier nicht noch mehr durcheinander.
Stimmt dies denn? Wenn dies stimmt, spinne ich meine Gedanken danach ein wenig weiter.
zu meinem Beispiel:
Per Definition weiß ich, dass: eine Reihe, die absolut konvergent ist, konvergiert auch. Umgekehrt muss dies nicht gelten.
Da ich bei meiner Beispieleaufgabe durch das Quotientenkriterium keine absolut Konvergenz nachgewiesen habe, habe ich sie separat auf Konvergenz mithilfe der Grenzwertbetrachtung nachgewiesen. So waren meine Gedanken dazu.
Letztendlich kam ich zu dem Schluss, dass die Reihe zwar nicht absolut konvergent ist, aber konvergent. Und für meine Beispielaufgabe habe ich meines Wissens nach keine Partialsummen berechnet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 27.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:34 Mo 26.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Für x [mm]\in \IR[/mm] definiert man [mm]x^{+}[/mm] = max{0,x}, [mm]x^{-}[/mm] = -
> min {0,x}
>
> a) Zeigen Sie: Wenn [mm]\summe_{k=1}^{\infty} x^{k}[/mm] konvergent,
> aber nicht absolut konvergent ist, dann gilt:
Es soll wohl lauten: [mm]\summe_{k=1}^{\infty} x_k[/mm]
Dann macht die Aufgabe auch sinn.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} x_{k}^{+}[/mm] = [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} x_{k}^{-}[/mm] = [mm]\infty.[/mm]
Es ist [mm] |x_k|=x_k^{+}+x_k^{-} [/mm] und [mm] x_k=x_k^{+}-x_k^{-}
[/mm]
Jetzt nimm an, eine der beiden Reihen [mm]\summe_{k=1}^{\infty} x_{k}^{+}[/mm] oder
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} x_{k}^{-}[/mm] wäre konvergent.
>
> b) Zeigen Sie: Wenn [mm]\summe_{k=1}^{\infty} x^{k}[/mm] konvergent,
> aber nicht absolut konvergent ist,
Auch hier: [mm] x_k [/mm] statt [mm] x^k
[/mm]
> dann existiert zu jedem
> x [mm]\in \IR[/mm] eine bijektive Abbildung [mm]\phi[/mm] : [mm]\IN \rightarrow \IN[/mm]
> mit
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{\phi (n)}[/mm] = x.
Riemannscher Umordnungssatz.
FRED
>
> Hallo,
>
> ich komme gerad bei beiden Teilaufgaben der oben genannten
> Aufgabe nicht weiter.
>
> Ich habe eine Reihe, die sowohl nach oben als auch nach
> unten divergieren soll. Wir hatten jetzt schon diverse
> Konvergenzkriterien für Reihen (Verdichtungssatz,
> Leibnizkriterium, trivales Kriterium für Reihen, etc. und
> pp), aber ich wüsste jetzt nicht direkt, wie ich bei
> dieser Aufgabe vorzugehen hätte.
>
> Ich hoffe einige Hinweise und Erläuterungen bzgl. der
> Aufgabe zu kriegen,
>
> besten Dank
>
> grüße,
>
> zjay
|
|
|
|
