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Reihen/Folgen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Mo 07.07.2014
Autor: Smuji

Aufgabe
Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n: Summenzeichen [mm] \bruch{k}{2^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n+1}-n-2}{2^{n}} [/mm]

also,
in erster linie habe ich überhaupt keine ahnung was der aufgabensteller da von mir will...soll ich links nun mehrere zahlen einsetzen und zeigen, dass rechts der wert genauso groß ist ? bestimmt nicht....denn er sagt ja, zeige für ALLE...


außerdem habe ich mal auf beiden seiten für die variabele, den gleichen wert eingesetzt und herausgefunden, dass es garnicht gleich ist ??!?


was genau muss ich da machen ?


gruß smuji

        
Bezug
Reihen/Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Mo 07.07.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

also wollen wir erstmal die Gleichung richtig notieren:

   [mm] \sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} [/mm]

So, nehmen wir mal n=1:

   LHS: [mm] \sum_{k=1}^1\frac{k}{2^k}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2} [/mm]

   RHS: [mm] \frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}=\frac{2^{1+1}-1-2}{2^1}=\frac{4-1-2}{2}=\frac{1}{2} [/mm]

Wir sehen also: für n=1 stimmt die Gleichung schon einmal.

Jetzt könntest du die Gleichung doch mal induktiv beweisen. Den Induktionsanfang habe ich bereits gemacht. Nun probier es mal mit Hilfe der Behauptung den Übergang [mm] n\to{n+1} [/mm] durchzuführen.



Wenn du mal etwas allgemeiner das ganze haben willst, dann versuche einmal diese an die geometrische Reihe angelehnte Formel zu beweisen:

   [mm] \sum_{k=0}^nk*q^k=\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2} [/mm]



Liebe Grüße!

Bezug
                
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Reihen/Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Di 08.07.2014
Autor: Smuji

vielen dank, aber ich habe keine ahnung wie ich sowas beweise.... ich schaue schon die ganze zeit in youtube nach videos, nur findei ch da nichts genaues...

also, es wird ja nicht sinn der aufgabe sein, nun jeden wert bis  unendlich dort zusetzen....also muss es ja eine allgemeine "art formel" geben....

das ist wahrscheinlich das, was du mit induktiv beweisen meinst....

also soll ich einfach für k --> k+1 einsetzen und für n --> n+1 ?

und dann nach irgendwas auflösen ?wenn ja, nach was ?


$ [mm] \sum_{k=1}^n\frac{k+1}{2^k+1}=\frac{2^{n+2}-n-1}{2^n+1} [/mm] $


so ?


gruß smuji


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Reihen/Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:29 Di 08.07.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

mit "induktiv" ist diese grundlegende Beweismethode gemeint:
https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion

Bezug
                        
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Reihen/Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Di 08.07.2014
Autor: fred97


> vielen dank, aber ich habe keine ahnung wie ich sowas
> beweise.... ich schaue schon die ganze zeit in youtube nach
> videos, nur findei ch da nichts genaues...
>  
> also, es wird ja nicht sinn der aufgabe sein, nun jeden
> wert bis  unendlich dort zusetzen....also muss es ja eine
> allgemeine "art formel" geben....
>  
> das ist wahrscheinlich das, was du mit induktiv beweisen
> meinst....
>  
> also soll ich einfach für k --> k+1 einsetzen und für n
> --> n+1 ?
>  
> und dann nach irgendwas auflösen ?wenn ja, nach was ?
>  
>
> [mm]\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{2^k+1}=\frac{2^{n+2}-n-1}{2^n+1}[/mm]
>  
>
> so ?

Nein !

   (*)    $ [mm] \sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} [/mm] $

Wir wollen zeigen, dass (*) für jedes n [mm] \in \IN [/mm] richtig ist.

Das macht man in folgenden Schritten:

1.  Zeige, dass (*) für n=1 richtig ist.

2. Nimm an, (*) sei für ein festes n [mm] \in \IN [/mm] richtig. Zeige damit, dass (*) auch für n+1 richtig ist, dass also gilt

$ [mm] \sum_{k=1}^{n+1}\frac{k}{2^k}=\frac{2^{n+2}-(n+1)-2}{2^{n+1}} [/mm] $


FRED

>  
>
> gruß smuji
>  


Bezug
                        
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Reihen/Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:41 Di 08.07.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

schau dir ruhig mal folgendes an:

http://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf

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