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| Aufgabe | 3e:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}) [/mm] |
servus zusammen
noch der letzte Krampf für heute 
Das habe ich schon gemacht:
Limes von [mm] a_{n} [/mm] = 0. könnte also konvergieren
Brüche zusammengefasst + Quotienten Kriterium angewant. --> kommt 1 raus, also keine Aussage.
Wenn ich das kind in zwei summen aufteile, habe ich zwei divergierende Reihen.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}-\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k+1}
[/mm]
aber daraus kann ich noch nicht schliessen, dass die ausgangsreihe auch divergierend ist, oder?
Welches Kriterum hilft mir weiter?
liäbi grüss
Tobi
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Hallo,
das, was du da hast, ist eine sog. Teleskopsumme, d.h. wenn du dir mal die Partialsummen
[mm] $\sum_{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$
[/mm]
anschaust, heben sich da beim Summieren immer 2 wieder auf.
Generell ist also bei Summen dieser Form
[mm] $\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k+1})=a_1-a_2+a_2-a_3+a_3-+...-a_n+a_n-a_{n+1}=a_1-a_{n+1}$.
[/mm]
Du kannst also die Partialsumme recht einfach ausdrücken und dann deren Grenzwert für [mm] $n\to\infty$ [/mm] berechnen.
VG
Johannes
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Ah, hatte die Frage nach dem Kriterium übersehen. Bei Teleskopsummen reicht ja wie oben gesagt schon die Konvergenz der Folge, die du summierst aus, damit die Reihe konvergiert. Wenn du dich in deinem Fall aber NUR für die Konvergenz und nicht für den eigentlichen Grenzwert interessierst, dann hilft dir hier das Majorantenkriterium.
Es ist nämlich [mm] $\frac{1}{k(k+1)}<\frac{1}{k^2}$.
[/mm]
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