Reihen Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 So 19.04.2009 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz!
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[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n!)^{2}}{(2n)!}
[/mm]
So jetzt müsste ich das Quotientenkriterium anwenden mit | [mm] \bruch{ak +1}{ak}|
[/mm]
Erweitere ich jetzt den oberen Term im Zähler auf ak +1 und den unteren Term im Nenner ak?
Brauche da mal bitte Verständnishilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevie!
Ich verstehe nicht, was Du hier mit "erweitern" meinst. Setze einfach die Folgenvorschrift in den Term des Quotientenkriteriums ein:
$$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{\bruch{[(n+1)!]^2}{[2(n+1)]!}}{\bruch{(n!)^2}{(2n)!}}\right| [/mm] \ = \ ... $$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 19.04.2009 | | Autor: | StevieG |
ok Super ich habe verstanden wie man da vorgehen muss Danke.
Allerdings kann ich trotz Lösung : [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)}
[/mm]
einfach nicht nachvollziehen wie man daraufkommt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevie!
Du musst hier die Regeln für die Fakultät anwenden und kürzen:
[mm] $$\bruch{\bruch{[(n+1)!]^2}{[2(n+1)]!}}{\bruch{(n!)^2}{(2n)!}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{[(n+1)!]^2}{[2(n+1)]!}*\bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{[n!*(n+1)]^2}{(2n+2)!}*\bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n!)^2*(n+1)^2}{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)}*\bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 19.04.2009 | | Autor: | StevieG |
$ [mm] \bruch{\bruch{[(n+1)!]^2}{[2(n+1)]!}}{\bruch{(n!)^2}{(2n)!}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{[(n+1)!]^2}{[2(n+1)]!}\cdot{}\bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{[n!\cdot{}(n+1)]^2}{(2n+2)!}\cdot{}\bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n!)^2\cdot{}(n+1)^2}{(2n)!\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n+2)}\cdot{}\bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] \ = [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)} \le \bruch{1}{2} [/mm] = q < 1
Reihe ist konvergent
richtig?
Danke für die Mühe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevie!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist so okay! Aber auch hier lässt sich doch der entsprechende Grenzwert mit [mm] $\bruch{1}{4} [/mm] \ < \ 1$ schnell bestimmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 So 19.04.2009 | | Autor: | StevieG |
Tut mir leid aber ich verstehe nicht ganz wie man auf 1/4 kommt. Ich habe für n = 0 eingesetzt und bin auf 1/2 gekommen. Wie geht man da vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevie!
Du musst hier bei der Grenzwertbetrachtung nicht $n \ = \ 0$ einsetzen, sondern sehr große $n_$ .
Klammere dafür in Zähler und Nenner jeweils [mm] $n^2$ [/mm] aus. Etwas einfacher wird es auch, wenn man erst kürzt:
[mm] $$\bruch{(n+1)^2}{(2n+1)*(2n+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)^2}{(2n+1)*2*(n+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n+1}{(2n+1)*2} [/mm] \ = \ ...$$
Nun in Zähler und Nenner $n_$ ausklammern.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 19.04.2009 | | Autor: | StevieG |
[mm] \bruch{n(\bruch{1}{n}+1)}{n(2 +\bruch{1}{n})}*2 [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{1}{n}+1)}{(2 +\bruch{2}{n})}
[/mm]
Wenn ich für 1/n und 2/n gegen 0 laufen lasse dann kommt 1/2 raus?
Wie kommt man da auf 1/4?
gruss
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> [mm]\bruch{n(\bruch{1}{n}+1)}{n(2 +\bruch{1}{n})}\red{*2}[/mm] =
> [mm]\bruch{(\bruch{1}{n}+1)}{(2 +\bruch{2}{n})}[/mm]
Hallo StevieG,
du hast falsch umgeformt (bzw. falsch aufgeschrieben).
[mm]\bruch{n(\bruch{1}{n}+1)}{n(2 +\bruch{1}{n})*2} = \bruch{\bruch{1}{n}+1}{4 +\bruch{2}{n}}\to \bruch{1}{4}[/mm]
D.h. ich finde zum Beispiel [mm] $\alpha =\bruch{1}{2} [/mm] < 1$, sodass
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] < [mm] \alpha$,
[/mm]
damit konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.
Grüße, Stefan.
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