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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Fr 15.04.2011 | | Autor: | janisE |
| Aufgabe | Zu zeigen: Für reelle Zahlen [mm]x_1,\cdots,x_n > 0[/mm] gilt
[mm]\summe_{\sigma \in S_n} \produkt_{i=1}^{n} \frac{x_i}{x_{\sigma(i)}+ \cdots + x_{\sigma(n)} } = 1 [/mm]
Tipp: Zerlegen Sie [mm]S_n[/mm] in disjunkte Teilmengen [mm]S_{n,k} := \{ \sigma \in S_n | \; \sigma(1) = k \}[/mm] |
Hallo!
Leider lag ich die erste Woche im Bett und stehe jetzt ohne Vorlesungskenntnisse vor dieser Aufgabe.
Zuerst zum Verständnis der Aufgabe. Soweit ich es sehe, habe ich eine Menge von reellen Zahlen, die [mm]S_n[/mm] heißt. Also [mm]S_n = \{x_1,\cdots,x_n\}[/mm], richtig? Nun ist mir nicht ganz klar, wie die Summe aufgebaut ist, also was genau ist das kleine Sigma <span class="math">[mm]\sigma[/mm] aus [mm]S_n [/mm]? Außerdem ist mir nicht klar, was genau im Nennen steht.
</span>
Könntet ihr es mir vielleicht an einem Beispiel erläutern, wie das exemplarisch für 3 Zahlen aussehen könnte?
Zu dem Tipp: Mir ist zwar klar, was disjunkte Mengen sind, aber was bedeutet [mm]\sigma(1)[/mm]?
Vielen, vielen Dank im Voraus!
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Huhu,
> Zu zeigen: Für reelle Zahlen [mm]x_1,\cdots,x_n > 0[/mm] gilt
> [mm]\summe_{\sigma \in S_n} \produkt_{i=1}^{n} \frac{x_i}{x_{\sigma(i)}+ \cdots + x_{\sigma(n)} } = 1 [/mm]
>
> Tipp: Zerlegen Sie [mm]S_n[/mm] in disjunkte Teilmengen [mm]S_{n,k} := \{ \sigma \in S_n | \; \sigma(1) = k \}[/mm]
>
> Leider lag ich die erste Woche im Bett und stehe jetzt ohne
> Vorlesungskenntnisse vor dieser Aufgabe.
Vermutlich, denn in der Aufgabe gehts um was ganz anderes.
> Zuerst zum Verständnis der Aufgabe. Soweit ich es sehe,
> habe ich eine Menge von reellen Zahlen, die [mm]S_n[/mm] heißt.
Da vermute ich anders.
> Also [mm]S_n = \{x_1,\cdots,x_n\}[/mm], richtig?
Nein! [mm] S_n [/mm] besteht aus [mm] $\sigma$'s [/mm] und zwar ganze n!-Stück davon.
Aufklärung der ganzen Geschichte:
[mm] S_n [/mm] ist die ![[]](/images/popup.gif) Symmetrische Gruppe der Ordnung n und [mm] \sigma [/mm] ist eine Permutation daraus.
Das hattest du bestimmt in linearer Algebra.
MFG,
Gono.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:06 Fr 15.04.2011 | | Autor: | janisE |
> Nein! [mm]S_n[/mm] besteht aus [mm]\sigma[/mm]'s und zwar ganze n!-Stück
> davon.
>
>
> Aufklärung der ganzen Geschichte:
>
> [mm]S_n[/mm] ist die
> Symmetrische Gruppe
> der Ordnung n und [mm]\sigma[/mm] ist eine Permutation daraus.
Danke, das hilft mir schon einmal weiter! Jetzt habe ich es an konkreten Zahlen durchprobiert und verstanden was die Formel ausdrückt.
Für n = 1 ist die Induktion auch trivial.
Nun aber die Frage nach dem weiteren Ablauf. Was genau helfen mir die disjunkten Teilmengen?
Nur das ich richtig liege:
[mm]S_3 = \{(1,2,3),(2,1,3),(2,3,1),(3,2,1),(3,1,2),(1,3,2)\}, |S_3| = 3! = 6[/mm]
und nach der Definition der disj. Teilmengen wäre
[mm]S_{3,2} = \{(2,1,3),(2,3,1)\}[/mm]
stimmt das soweit?
Wenn ja habe ich alle Permutationen, bei denen das erste Elemente fix ist jeweils in einer Teilgruppe. Aber wie mache ich daraus ein großes Ganzes?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
da keine Zeit nur kurz:
Wenn du dir die Zykelschreibweise aussuchst, ist
$ [mm] S_{3,2} [/mm] = [mm] \{(2,1,3),(2,3,1)\} [/mm] $
falscht, denn das erste Zykel sagt [mm] $\sigma(1) [/mm] = 3$ und das zweite [mm] $\sigma(1) [/mm] = 2$
Die Zykelschreibweise liest man übrigens folgendermaßen:
$(2,1,3) = 2 [mm] \to [/mm] 1 [mm] \to [/mm] 3$ also:
$2 [mm] \to [/mm] 1, 1 [mm] \to [/mm] 3, 3 [mm] \to [/mm] 2$
Heisst: Dein [mm] S_n [/mm] ist auch falsch, enthält nämlich weniger als 3! Elemente, da $(2,1,3) = (3,2,1)$
Heisst: An der Schreibweise arbeiten!
MFG,
Gono.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:40 Fr 15.04.2011 | | Autor: | janisE |
>
> Wenn du dir die Zykelschreibweise aussuchst, ist
>
> [mm]S_{3,2} = \{(2,1,3),(2,3,1)\}[/mm]
>
> falscht, denn das erste Zykel sagt [mm]\sigma(1) = 3[/mm] und das
> zweite [mm]\sigma(1) = 2[/mm]
>
> Die Zykelschreibweise liest man übrigens folgendermaßen:
>
> [mm](2,1,3) = 2 \to 1 \to 3[/mm] also:
>
> [mm]2 \to 1, 1 \to 3, 3 \to 2[/mm]
>
> Heisst: Dein [mm]S_n[/mm] ist auch falsch, enthält nämlich weniger
> als 3! Elemente, da [mm](2,1,3) = (3,2,1)[/mm]
>
> Heisst: An der Schreibweise arbeiten!
>
[mm]S_3 = \{(1),(1,2,3),(1,3,2),(2,3),(1,3),(1,2)\}, S_{3,2}=\{(2,3)\}, S_{3,3} = \{\emptyset\}[/mm]
richtig so?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:54 So 17.04.2011 | | Autor: | janisE |
> [mm]S_3 = \{(1),(1,2,3),(1,3,2),(2,3),(1,3),(1,2)\}, S_{3,2}=\{(2,3)\}, S_{3,3} = \{\emptyset\}[/mm]
>
> richtig so?
>
Natürlich nicht, sorry. Inzwischen hab ich mir das Ganze weiter angesehen und das Prinzip verstanden. Außerdem habe ich gesehen, dass gilt:
[mm]\sum_{\sigma\in S_{n,k}} \prod_{i=1}^n \frac{x_i}{x_{\sigma(i)} + \cdots + x_{\sigma(n)}} = \frac{x_k}{x_1 + \cdots + x_n}[/mm]
Da [mm]S_n[/mm] in [mm]n=k[/mm] disjunkte Teilgruppen [mm]S_{n,k}[/mm] zerlegt werden kann, gilt für jedes [mm]S_n[/mm]: [mm]\sum_{\sigma\in S_{n}} \prod_{i=1}^n \frac{x_i}{x_{\sigma(i)} + \cdots + x_{\sigma(n)}} = \sum_{j=1}^n \sum_{\sigma\in S_{n,k}} \prod_{i=1}^n \frac{x_i}{x_{\sigma(i)} + \cdots + x_{\sigma(n)}} = \frac {x_1 + \cdots + x_n}{x_1 + \cdots + x_n} = 1[/mm]
Nun ist die Frage wie ich das mit der Induktion veranstalte. Sollte ich "alles" per Induktion zeigen, oder nur mein [mm]\sum_{\sigma\in S_{n,k}} \prod_{i=1}^n \frac{x_i}{x_{\sigma(i)} + \cdots + x_{\sigma(n)}} = \frac{x_k}{x_1 + \cdots + x_n}[/mm]? Schließlich habe ich hier ja zwei Variablen (n,k).
Als Induktionsanfang für n = 1 wäre das
[mm]\sum_{\sigma\in S_{1}} \prod_{i=1}^1 \frac{x_i}{x_{\sigma(i)} + \cdots + x_{\sigma(n)}} = \frac{x_1}{x_1} = 1[/mm]
Jetzt komme ihc nur nicht weiter. Wie schaffe ich den Schritt von n -> n+1 bzw. wie setze ich hier den Induktionsanfang, also wie forme ich den Term so um, dass ich dort ein [mm]S_n[/mm] stehen habe?
[mm]\sum_{\sigma\in S_{n,k}} \prod_{i=1}^n \frac{x_i}{x_{\sigma(i)} + \cdots + x_{\sigma(n)}} =_{\text{IA}}[/mm] ??
Vielen Dank im Voraus und ein schönes Restwochenende!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 So 17.04.2011 | | Autor: | dlns |
Moin.
Ich knabber gerade an derselben Aufgabe und du hast mir da ein gutes Stück weiter geholfen, also danke erstmal. ;)
> Sollte ich "alles" per Induktion zeigen, oder
> nur mein [mm]\sum_{\sigma\in S_{n,k}} \prod_{i=1}^n \frac{x_i}{x_{\sigma(i)} + \cdots + x_{\sigma(n)}} = \frac{x_k}{x_1 + \cdots + x_n}[/mm]?
> Schließlich habe ich hier ja zwei Variablen (n,k).
Soweit ich das sehe, ist [mm]1 \leq k \leq n[/mm], also hast du eigentlich nur eine Variable und es reicht hier erstmal eine Induktion über n. (Leider seh ich auch noch nicht genau, wie man da aus [mm]S_{n+1,k}[/mm] auf [mm]S_{n,k}[/mm] kommt, damit man die Induktionsvoraussetzung einsetzen kann, aber vielleicht hilft dir das ja nochmal weiter?
Wenn du diese Gleichung bewiesen hast, ist der Rest von [mm]\sum_{k=1}^n \sum_{\sigma\in S_{n,k}} \prod_{i=1}^n \frac{x_i}{x_{\sigma(i)}+\ldots+x_{\sigma(n)}} = \sum_{k=1}^n \frac{x_k}{x_1 + \ldots + x_n} = 1[/mm] offensichtlich.
Viele Grüße (und bis morgen in der Vorlesung ^^)
D.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 19.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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