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Reihen gleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Mi 15.08.2012
Autor: softeisesser

Man hat zwei Reihen [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}b_n [/mm] und es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] b_n, [/mm] gilt dann auch

[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}b_n? [/mm]
Wenn nein, gilt dies wenn eine weitere Bedingung erfüllt ist, wie absolute konvergenz z.B.?

        
Bezug
Reihen gleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Mi 15.08.2012
Autor: fred97


> Man hat zwei Reihen [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n[/mm]


Besser:  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm]

> und
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}b_n[/mm] und es gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] = [mm]b_n,[/mm]

Meinst Du  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm] ?



>  gilt dann auch
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n[/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{\infty}b_n?[/mm]



Hä ? Was meinst Du mit "und" ?  Meinst Du:  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] =[mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_n[/mm] ?

Wenn ja, so stimmt das nicht. Nimm irgendwelche konvergenten Reihen [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm]  und [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_n[/mm]

Dann ist  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm]=0 = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]

FRED

>  Wenn nein, gilt dies wenn eine weitere Bedingung erfüllt
> ist, wie absolute konvergenz z.B.?


Bezug
                
Bezug
Reihen gleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:16 Mi 15.08.2012
Autor: softeisesser

danke du hast alles richtig gedeutet.
wie sieht es aus, wenn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}| [/mm] = 1 gilt, w"urden dann die Reihen gleich sein?

Bezug
                        
Bezug
Reihen gleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:30 Mi 15.08.2012
Autor: fred97


> danke du hast alles richtig gedeutet.
>  wie sieht es aus, wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1 gilt,
> w"urden dann die Reihen gleich sein?

Nein. Nimm [mm] a_n= \bruch{1}{n} [/mm]  und [mm] b_n=(-1)^n* \bruch{1}{n} [/mm]

[mm] \sum a_n [/mm] ist divergent, [mm] \sum b_n [/mm] ist konvergent.

FRED


Bezug
                                
Bezug
Reihen gleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Mi 15.08.2012
Autor: softeisesser

gut :)
dann bleibt nur noch ein Fall übrig

Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}| [/mm] = 1 gilt, ist dann
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|a_n| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|b_n| [/mm] ?

Bezug
                                        
Bezug
Reihen gleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Mi 15.08.2012
Autor: abakus


> gut :)
>  dann bleibt nur noch ein Fall übrig
>  
> Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1
> gilt, ist dann
>  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|b_n|[/mm] ?

Wirklich?

[mm]a_n=\bruch{n}{n+1}[/mm]
[mm]b_n=2-\bruch{n}{n+1}[/mm]


Bezug
                                        
Bezug
Reihen gleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Mi 15.08.2012
Autor: fred97


> gut :)
>  dann bleibt nur noch ein Fall übrig
>  
> Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1
> gilt, ist dann
>  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|b_n|[/mm] ?

Nein.

Beispiel:

[mm] a_n=\bruch{1}{n^2}, b_n=\bruch{1}{n^2+123456789876543212345678909876} [/mm]

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:44 Do 16.08.2012
Autor: Marcel

Hallo Fred,

> > gut :)
>  >  dann bleibt nur noch ein Fall übrig
>  >  
> > Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1
> > gilt, ist dann
>  >  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|b_n|[/mm]
> ?
>
> Nein.
>  
> Beispiel:
>  
> [mm]a_n=\bruch{1}{n^2}, b_n=\bruch{1}{n^2+123456789876543212345678909876}[/mm]
>  
> FRED

coole Zahl: 123456789876543212345678909876

Steckt bestimmt irgendwo in [mm] $\pi$'s [/mm] Nachkommastellen mit drin ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                        
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:59 Do 16.08.2012
Autor: Richie1401

Guten Morgen,

> Hallo Fred,
>  
> > > gut :)
>  >  >  dann bleibt nur noch ein Fall übrig
>  >  >  
> > > Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1
> > > gilt, ist dann
>  >  >  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|b_n|[/mm]
> > ?
> >
> > Nein.
>  >  
> > Beispiel:
>  >  
> > [mm]a_n=\bruch{1}{n^2}, b_n=\bruch{1}{n^2+123456789876543212345678909876}[/mm]
>  
> >  

> > FRED
>  
> coole Zahl: 123456789876543212345678909876
>  
> Steckt bestimmt irgendwo in [mm]\pi[/mm]'s Nachkommastellen mit drin
> ;-)

Allerdings nicht in den ersten 200000000 Nachkommestellen. :/

>  
> Gruß,
>    Marcel


Bezug
                                                                
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:14 Do 16.08.2012
Autor: Marcel

Morgen,

> Guten Morgen,
>  
> > Hallo Fred,
>  >  
> > > > gut :)
>  >  >  >  dann bleibt nur noch ein Fall übrig
>  >  >  >  
> > > > Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1
> > > > gilt, ist dann
>  >  >  >  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] =
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|b_n|[/mm]
> > > ?
> > >
> > > Nein.
>  >  >  
> > > Beispiel:
>  >  >  
> > > [mm]a_n=\bruch{1}{n^2}, b_n=\bruch{1}{n^2+123456789876543212345678909876}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > FRED
>  >  
> > coole Zahl: 123456789876543212345678909876
>  >  
> > Steckt bestimmt irgendwo in [mm]\pi[/mm]'s Nachkommastellen mit drin
> > ;-)
>  Allerdings nicht in den ersten 200000000 Nachkommestellen.
> :/

na, das zeigt doch, wie viel Mühe sich Fred mit seiner Antwort gegeben hat. ;-) Er hat sich [mm] $\pi$ [/mm] "sehr gut" angeguckt. :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                        
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:06 Do 16.08.2012
Autor: fred97


> Morgen,
>  
> > Guten Morgen,
>  >  
> > > Hallo Fred,
>  >  >  
> > > > > gut :)
>  >  >  >  >  dann bleibt nur noch ein Fall übrig
>  >  >  >  >  
> > > > > Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1
> > > > > gilt, ist dann
>  >  >  >  >  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] =
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|b_n|[/mm]
> > > > ?
> > > >
> > > > Nein.
>  >  >  >  
> > > > Beispiel:
>  >  >  >  
> > > > [mm]a_n=\bruch{1}{n^2}, b_n=\bruch{1}{n^2+123456789876543212345678909876}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > FRED
>  >  >  
> > > coole Zahl: 123456789876543212345678909876
>  >  >  
> > > Steckt bestimmt irgendwo in [mm]\pi[/mm]'s Nachkommastellen mit drin
> > > ;-)
>  >  Allerdings nicht in den ersten 200000000
> Nachkommestellen.
> > :/
>  
> na, das zeigt doch, wie viel Mühe sich Fred mit seiner
> Antwort gegeben hat. ;-) Er hat sich [mm]\pi[/mm] "sehr gut"
> angeguckt. :-)

Genau, meine Tastatur hat nämlich den Namen [mm] \pi, [/mm] und die hab ich mir rauf und runter sehr genau angesehen, bevor ich die Antwort schrieb.

FRED

>  
> Gruß,
>    Marcel


Bezug
                                                                                
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 Do 16.08.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> > na, das zeigt doch, wie viel Mühe sich Fred mit seiner
> > Antwort gegeben hat. ;-) Er hat sich [mm]\pi[/mm] "sehr gut"
> > angeguckt. :-)
>  
> Genau, meine Tastatur hat nämlich den Namen [mm]\pi,[/mm] und die
> hab ich mir rauf und runter sehr genau angesehen, bevor ich
> die Antwort schrieb.

oh, eine [mm] $\pi$-sa-Studie [/mm] ^^

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                        
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:19 Fr 17.08.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > > na, das zeigt doch, wie viel Mühe sich Fred mit seiner
> > > Antwort gegeben hat. ;-) Er hat sich [mm]\pi[/mm] "sehr gut"
> > > angeguckt. :-)
>  >  
> > Genau, meine Tastatur hat nämlich den Namen [mm]\pi,[/mm] und die
> > hab ich mir rauf und runter sehr genau angesehen, bevor ich
> > die Antwort schrieb.
>  
> oh, eine [mm]\pi[/mm]-sa-Studie ^^

Ja, beim [mm] \pi-\pi [/mm] machen habe ich die Studie durchgeführt.

[mm] \pi-\pi=0, [/mm] ich glaub , ich muß zum Urologen.

FRED

>  
> Gruß,
>    Marcel


Bezug
                                                                                                
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:32 Fr 17.08.2012
Autor: Marcel

Hallo Fred,

> > Hallo,
>  >  
> > > > na, das zeigt doch, wie viel Mühe sich Fred mit seiner
> > > > Antwort gegeben hat. ;-) Er hat sich [mm]\pi[/mm] "sehr gut"
> > > > angeguckt. :-)
>  >  >  
> > > Genau, meine Tastatur hat nämlich den Namen [mm]\pi,[/mm] und die
> > > hab ich mir rauf und runter sehr genau angesehen, bevor ich
> > > die Antwort schrieb.
>  >  
> > oh, eine [mm]\pi[/mm]-sa-Studie ^^
>  
> Ja, beim [mm]\pi-\pi[/mm] machen habe ich die Studie durchgeführt.
>  
> [mm]\pi-\pi=0,[/mm] ich glaub , ich muß zum Urologen.

ist gut jetzt mit der [mm] $\pi$-sackerei [/mm] ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:49 Fr 17.08.2012
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > > Hallo,
>  >  >  
> > > > > na, das zeigt doch, wie viel Mühe sich Fred mit seiner
> > > > > Antwort gegeben hat. ;-) Er hat sich [mm]\pi[/mm] "sehr gut"
> > > > > angeguckt. :-)
>  >  >  >  
> > > > Genau, meine Tastatur hat nämlich den Namen [mm]\pi,[/mm] und die
> > > > hab ich mir rauf und runter sehr genau angesehen, bevor ich
> > > > die Antwort schrieb.
>  >  >  
> > > oh, eine [mm]\pi[/mm]-sa-Studie ^^
>  >  
> > Ja, beim [mm]\pi-\pi[/mm] machen habe ich die Studie durchgeführt.
>  >  
> > [mm]\pi-\pi=0,[/mm] ich glaub , ich muß zum Urologen.
>  
> ist gut jetzt mit der [mm]\pi[/mm]-sackerei ;-)


O.K., [mm] \pi- [/mm] sdemnächst
FRED

>  
> Gruß,
>    Marcel


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:44 Fr 17.08.2012
Autor: abakus


>  
>
> O.K., [mm]\pi-[/mm] sdemnächst
>  FRED
>  >  
> > Gruß,
>  >    Marcel

>

Ich werd mich auch [mm] ver$\pi$ssen. [/mm]

[mm] $\pi$hs! [/mm]  


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:56 Fr 17.08.2012
Autor: reverend

Tach auch.

Ich will ja nicht [mm] $\pi$ngelig [/mm] werden, aber hier gehts wieder [mm] ra$\pi$de [/mm] vom Thema weg. Das ist doch kein [mm] S$\pi$elplatz [/mm] hier.

Wenn ich mir ansehe, zu welcher Tageszeit Ihr Eure [mm] la$\pi$daren [/mm] Bemerkungen austauscht, glaube ich aber zumindestens das mit dem Uhrologen...

Grüße
reverend


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:13 Fr 17.08.2012
Autor: fred97


> Tach auch.
>  
> Ich will ja nicht [mm]\pi[/mm]ngelig werden, aber hier gehts wieder
> ra[mm]\pi[/mm]de vom Thema weg. Das ist doch kein S[mm]\pi[/mm]elplatz hier.

Nein ? Was mach ich dann seit über 4 Jahren hier ?

FRED

>  
> Wenn ich mir ansehe, zu welcher Tageszeit Ihr Eure
> la[mm]\pi[/mm]daren Bemerkungen austauscht, glaube ich aber
> zumindestens das mit dem Uhrologen...
>  
> Grüße
>  reverend
>  


Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Di 28.08.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> > Tach auch.
>  >  
> > Ich will ja nicht [mm]\pi[/mm]ngelig werden, aber hier gehts wieder
> > ra[mm]\pi[/mm]de vom Thema weg. Das ist doch kein S[mm]\pi[/mm]elplatz hier.
>  
> Nein ? Was mach ich dann seit über 4 Jahren hier ?

[mm] $\pi$rouetten [/mm] drehen, und außerdem gucken wir jetzt alle [mm] $\Pi$-$\pi$ [/mm] Langstrumpf...


P.S. Oder [mm] $\Pi$nocchio... [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:26 Do 16.08.2012
Autor: Marcel

hier hatte ich fälschlicherweise eine Antwort auf eine andere Frage geschrieben!
Bezug
                        
Bezug
Reihen gleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:26 Do 16.08.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> danke du hast alles richtig gedeutet.
> wie sieht es aus, wenn
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}| [/mm] $ = 1 gilt, w"urden dann die Reihen
> gleich sein?

neben dem bisher vorgeschlagenen:
Die Frage ist eigentlich total bescheuert (versteh' das nicht falsch: ich meine damit nicht, dass Du bescheuerte Fragen stellst, sondern dass man da so einfache Gegenbeispiele findet, dass man hinterher denkt: "boah, was für 'ne bescheuerte Frage" - also: ich will weder Dich noch Deine Fragen bewerten!!), denn ebensogut könnte man fragen, ob es Zahlen $r [mm] \in \IR$ [/mm] gibt mit [mm] $-r=r\,.$ [/mm] Ja, gibt's, aber nur eine, nämlich die [mm] $0\,.$ [/mm]

Was ich damit meine folgt aus 1.):

1.) Ist [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] irgendeine in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Reihe, sei also [mm] $s:=\sum_{n=1}^\infty a_n\,,$ [/mm] dann betrachte einfach [mm] $\sum_{n=1}^\infty \underbrace{(-a_n)}_{=:b_n}=-s\,.$ [/mm]
Dabei sollten alle bis auf endlich viele [mm] $a_n$ [/mm] allerdings erfüllen [mm] $a_n \not=0\,.$ [/mm]

Aber neben dem bisher betrachteten gibt's auch noch ein anderes banales Beispiel:

2.) Betrachte einfach mal [mm] $a_n:=1/ n^2$ [/mm] und [mm] $b_n:=a_{n+1}=1/(n+1)^2\,.$ [/mm]

(P.S.: Was käme bei 2) dem Quotientenkriterium wohl raus? Oder anders gefragt: Wie findet man mehrere passende Beispiele, bei denen man "nur bei den Summanden den Index um 1 verschieben muss"?)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Reihen gleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:10 Di 28.08.2012
Autor: softeisesser

Danke für die Antworten, trotz meiner [mm] \pi\pi-Frage. [/mm]
Es war für mich auch eine Frage der Definition wann Reihen gleich sind, siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik_und_Vergleich
daher wollte ich zurück auf die Ebene der Summanden

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