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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 So 02.02.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{k}=\begin{cases} \bruch{1}{k+1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \bruch{-2}{k}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases}.
[/mm]
Betrachten Sie die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] = (1 - 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] +- ...), sowie die folgende Reihe, die durch geeignetes Umsortieren der [mm] a_{k} [/mm] entsteht:
(-1 + 1 + [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}) +(-\bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}) [/mm] + ...
(a) Zeigen Sie, dass beide Reihen konvergieren. Sind die Grenzwerte gleich?
(b) Was können Sie daraus für das Rechnen mit Reihen folgern? |
Hi!
Ich hab da ein Problem mit dieser Aufgabe. Wie kann ich diese Reihen so schreiben, dass ich Konvergenz nachweisen kann. Meine Idee war, dass man die [mm] a_{k}so [/mm] schreiben könnte: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}. [/mm] Aber wie kann ich die andere Reihe darstellen und nützt mir die Darstellung von [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k} [/mm] etwas, deren Grenzwert ja 0 wäre?
Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen!
Viele Grüße, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 So 02.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
da stimmt etwas mit der Indizierung nicht:
> Sei [mm]a_{k}=\begin{cases} \bruch{1}{k+1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \bruch{-2}{k}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases}.[/mm]
>
> Betrachten Sie die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] = (1 -
> 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] +- ...),...
Diese Reihe heißt aber ausgeschrieben
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}a_k= \frac{1}{2}-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}+...
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 02.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Diophant hat ja schon auf den ersten Fehler hingewiesen, der wahrscheinlich ein Schreibfehler deinerseits ist : In der Definition der "ungeraden" [mm] a_k [/mm] muss im Zähler eine 2 stehen.
Diese Reihe untersuchst du, indem du die Folge [mm] (s_n) [/mm] ihrer Partialsummen [mm] s_n=\summe_{k=1}^{n}a_k [/mm] betrachtest.
Der Fehler inder zweiten Reihe ist vielleicht ein Fehler des Aufgabenstellers. Durch Umsortieren der ersten Reihe kommt der Summand [mm] +\bruch{1}{4} [/mm] sicherlich nicht zweimal vor.
Sinnvoll ist es hingegen, folgende Umsortierung zu betrachten :
(-1 + 1 + [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}) [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8}) [/mm] + ...
Beachte, dass du die Klammern nicht weglassen kannst, hier stehen die ersten vier Summanden einer Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}b_k. [/mm] Finde einen einfachen Term für [mm] b_k [/mm] und benutze das Majorantenkriterium.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 So 02.02.2014 | | Autor: | Petrit |
Erstmal super, danke für die Tipps.
Ja, sorry, da hatten sich ein paar Fehler in der Aufgabenstellung eingeschlichen. Ich versuch jetzt mal mit den Tipps die Aufgabe zu lösen.
Gruß, Petrit!
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