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| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{4}+\bruch{2}{4^{2}}+\bruch{1}{4^{3}}+\bruch{2}{4^{4}}..... [/mm] |
Hi,
ich muss bei einer solchen Folge den Reihenwert bestimmen, wie mach ich das hier?
Es wäre sehr nett, wenn ihr mir erst einmal genau erklären würdet, was ein Reihenwert ist! Meine Verlobte steht vor ihrem Staatsexamen und hat diese Vorlesungen leider verpasst und ich versuche es mir mit ihr zusammen zu erarbeiten. leider beginne ich mein Studium aber erst im September.
Vielen Dank im voraus
Chris
Ps.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo firefighter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> [mm]\bruch{1}{4}+\bruch{2}{4^{2}}+\bruch{1}{4^{3}}+\bruch{2}{4^{4}}.....[/mm]
> Hi,
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> ich muss bei einer solchen Folge den Reihenwert bestimmen,
> wie mach ich das hier?
Zunächst sind die Reihen zu bestimmen.
Es handelt sich hier um zwei geometrische Reihen,
deren Reihenwert (=Wert der unendlichen Reihe) bekannt ist.
> Es wäre sehr nett, wenn ihr mir erst einmal genau
> erklären würdet, was ein Reihenwert ist! Meine Verlobte
> steht vor ihrem Staatsexamen und hat diese Vorlesungen
> leider verpasst und ich versuche es mir mit ihr zusammen zu
> erarbeiten. leider beginne ich mein Studium aber erst im
> September.
>
> Vielen Dank im voraus
>
> Chris
>
>
> Ps.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> [mm]\bruch{1}{4}+\bruch{2}{4^{2}}+\bruch{1}{4^{3}}+\bruch{2}{4^{4}}.....[/mm]
> Hi,
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> ich muss bei einer solchen Folge
Du meinst wohl Reihe!
> den Reihenwert bestimmen, wie mach ich das hier?
Du kannst Mathepowers Vorschlag verfolgen, oder aber erstmal auch nur
eine Reihe hinschreiben:
[mm] $\bruch{1}{4}+\bruch{2}{4^{2}}+\bruch{1}{4^{3}}+\bruch{2}{4^{4}}.....=\sum_{k=1}^\infty \frac{1+\tfrac{1+(-1)^k}{2}}{4^k}\,.$
[/mm]
Jetzt gib' Deiner Verlobten die Tipps:
[mm] $\frac{1+\tfrac{1+(-1)^k}{2}}{4^k}=\left(\frac{1}{4}\right)^k+\frac{1}{2}*\left(\frac{1}{4}\right)^k+\frac{1}{2}*\left(-\;\frac{1}{4}\right)^k$ $\red{\left(\black{=\frac{3}{2}*\left(\frac{1}{4}\right)^k+\frac{1}{2}*\left(-\;\frac{1}{4}\right)^k}\right)}$
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Satz 6.3 und das Stichwort "geometrische Reihe".
Mathepowers Vorschlag zielte eher darauf hinaus, dass Du Dir die beiden
Reihen
[mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{4^{2k+1}}$
[/mm]
und
[mm] $\sum_{k=\red{1}}^\infty \frac{2}{4^{2k}}$
[/mm]
anguckst.
P.S. Was ein Reihenwert ist:
siehe Seite 49
Du brauchst dafür aber erstmal das Wissen, was eine konvergente Folge
ist. Denn eine Reihe [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ [/mm] ist erstmal die Folge ihrer Partialsummen [mm] $s_n:=\sum_{k=n_0}^n a_k\,.$ [/mm]
Und im Falle der Konvergenz von [mm] ${(s_n)}_{n=n_0}^\infty$ [/mm] ist dann der Grenzwert
[mm] $s:=\lim_{n \to \infty}s_n=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n_0}^n a_k$
[/mm]
der Reihenwert - und dann bekommt das Symbol [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty a_k,$ [/mm] welches zunächst
als Symbol für die Folge [mm] ${(s_n)}_{n=n_0}^\infty$ [/mm] benutzt wird, eine zweite Bedeutung:
Man schreibt dann auch [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty a_k:=s=\lim_{n \to \infty}s_n=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n_0}^n a_k\,.$
[/mm]
Das steht aber auch alles auf der erwähnten Seite im Skript!
P.S. Wann hat Deine Verlobte ihr Staatsexamen? Und wäre es nicht vielleicht
etwas sinnvoller (für sie), wenn sie selbst hier nachfragen würde? Das müsst
ihr aber entscheiden...
Gruß,
Marcel
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