Reihen und Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Hallo noch mal...
Habe noch eine Aufgabe, und zwar ich soll beweisen, dass die folgenden Reihen konvergieren und berechnen den Grenzwert:
1) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{2^{k}};
[/mm]
2) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3}{4^{k}}
[/mm]
|
|
| |
|
> Hallo noch mal...
> Habe noch eine Aufgabe, und zwar ich soll beweisen, dass
> die folgenden Reihen konvergieren und berechnen den
> Grenzwert:
> 1) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{2^{k}};[/mm]
> 2)
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3}{4^{k}}[/mm]
Hallo,
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{2^{k}}=\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{-1}{2})^k,
[/mm]
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3}{4^{k}}[/mm] =3 [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{4})^k[/mm] ,
nun mit der geometrischen Reihe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Di 01.12.2009 | | Autor: | Juliia |
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3}{4^{2}} [/mm] = 3 [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{4})^{k} [/mm] wegen [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] gilt 3 = [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{1}{4}} [/mm] =4
So?
|
|
|
| |
|
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3}{4^{2}}[/mm] = 3 [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{4})^{k}[/mm] wegen
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] gilt 3 =
> [mm]\bruch{1}{1 - \bruch{1}{4}}[/mm] =4
> So?
Hallo,
3 = [mm]\bruch{1}{1 - \bruch{1}{4}}[/mm] =4 gilt nun ja sicher nicht.
Falls Du aber sagen wolltest
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3}{4^{k}}= [/mm] 3[mm]\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{4})^{k}[/mm][mm] =3*\bruch{1}{1 - \bruch{1}{4}}=3*\bruch{4}{3}=4
[/mm]
so wäre das richtig.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Di 01.12.2009 | | Autor: | Juliia |
Ja das meinte ich, sorry habe mich verschrieben!
Jetzt muss ich aber noch auf Konvergenz prüfen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Di 01.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Wieso ?
Du weißt doch, dass $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] $ konvergiert, falls $|q|<1$ ist
FRED
|
|
|
| |
|
> Ja das meinte ich, sorry habe mich verschrieben!
> Jetzt muss ich aber noch auf Konvergenz prüfen...
Nein.
Daß die geometrische Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] für |q|<1 konvergiert, weiß man. Du ja doch sogar ihren Grenzwert verwendet...
Deine Ursprungsreihe ist das Vielfache der geometrischen Reihe, konvergiert also auch.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
