Reihen und Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Hallo zusammen!
Gibt es ein generelles Kochrezept wie man an einen solchen Aufgabentyp geht: "Untersuchen Sie ob die Reihe konvergent ist".
Habe da z.B. folgende Aufgabe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3n+1} [/mm]
Ich habe da was von einem "Quotientenkriterium" aufgeschnappt. Funktioniert das so, dass ich das an-te durch das a(n+1)-te Glied teile und dann schaue wie sich das Ergebnis zum Wert 1 verhält? Wenn Bruch tatsächlich kleiner ist als 1 folgt daraus eine strenge Monotonie, richtig? Aber eine strenge Monotonie sagt doch noch nichts darüber aus ob ich tatsächlich einen Grenzwert habe.
Ich habe dieses Beispiel dann weiter so bearbeitet:
[mm] \bruch{\bruch{1}{3n+1}}{\bruch{1}{3(n+1)+1}} [/mm]
=
[mm] \bruch{1}{(3n+1)²} [/mm] und das ist ja kleiner als 1 (vorrausgesetzt der Term unter dem Bruch ist kleiner als 1, aber das ist ja dadurch abgesichert, dass n mindestens den Wert 1 hat). Habe ich damit gezeigt, dass die Reihe konvergent ist?
Mit dem selben Ansatz komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter (wenn ich dabei überhaupt das Quotientenkriterium benötige):
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm]
bzw. ähnliche Aufgabe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)²}{(2n)!} [/mm]
Vielen Dank im vorraus
Tschau,
Mopetz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mopetz,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3n+1}[/mm]
>
> Ich habe da was von einem "Quotientenkriterium"
> aufgeschnappt. Funktioniert das so, dass ich das an-te
> durch das a(n+1)-te Glied teile und dann schaue wie sich
> das Ergebnis zum Wert 1 verhält? Wenn Bruch tatsächlich
> kleiner ist als 1 folgt daraus eine strenge Monotonie,
> richtig? Aber eine strenge Monotonie sagt doch noch nichts
> darüber aus ob ich tatsächlich einen Grenzwert habe.
> Ich habe dieses Beispiel dann weiter so bearbeitet:
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3n+1}}{\bruch{1}{3(n+1)+1}}[/mm]
>
> =
>
> [mm]\bruch{1}{(3n+1)²}[/mm] und das ist ja kleiner als 1
Ein Bruch wird durch einen anderen Bruch geteilt, indem man ihn mit dem Kehrwert multipliziert.
> (vorrausgesetzt der Term unter dem Bruch ist kleiner als 1,
> aber das ist ja dadurch abgesichert, dass n mindestens den
> Wert 1 hat). Habe ich damit gezeigt, dass die Reihe
> konvergent ist?
Die ganze Rechnung stimmt leider nicht.
Das Quotientenkriterium lautet:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\left| {\frac{{a_{n + 1} }}{{a_n }}} \right|\; = \;\sigma \; = \;\frac{1}{\rho }[/mm]
Und hier noch ein anderes Kriterium, das Wurzelkriterium:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\sqrt[n]{{a_n }}\; = \;\tau \; = \;\frac{1}{\rho }[/mm]
wobei [mm]\rho[/mm] der Konvergenradius ist.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^n}[/mm]
Hier ist wohl der Einsatz des Wurzelkriteriums am besten.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)²}{(2n)!}[/mm]
Ich denke hier kommt man mit dem Quotientenkriterium aus.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Di 17.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
uups, peinlich peinlich, dass mit dem Bruch...
Hier die korrigierte Fassung:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3n+1}[/mm]
Untersuche dieses Teil auf Konvergenz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{3(n+1)+1}}{\bruch{1}{3n+1}}| [/mm] = [mm] |\bruch{3n+1}{3n+4}| [/mm] = [mm] |\bruch{n(3+\bruch{1}{n})}{n(3+\bruch{4}{n})}| [/mm] = [mm] |\bruch{3+\bruch{1}{n}}{3+\bruch{4}{n}}|
[/mm]
Da die beiden Brüche 1/n bzw. 4/n für n gegen unendlich gegen 0 laufen bleibt stehen [mm] \bruch{3}{3} [/mm] = 1. Somit isr die Reihe nicht konvergent, ist das soweit richtig?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}
[/mm]
Diese Reihe habe ich so auf Konvergenz überprüft:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \wurzel[n]{n!} [/mm] und das muss ja kleiner als 1 sein, da der Faktor [mm] \bruch{1}{n} [/mm] des Gesamtproduktes für n gegen unendlich gegen 0 läuft. Somit ist diese Reihe konvergent. Hab ichs verstanden, oder liege ich da immer noch falsch?
Tschau,
Mopetz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Di 17.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Untersuche dieses Teil auf Konvergenz:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{3(n+1)+1}}{\bruch{1}{3n+1}}|[/mm]
> = [mm]|\bruch{3n+1}{3n+4}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{n(3+\bruch{1}{n})}{n(3+\bruch{4}{n})}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{3+\bruch{1}{n}}{3+\bruch{4}{n}}|[/mm]
>
> Da die beiden Brüche 1/n bzw. 4/n für n gegen unendlich
> gegen 0 laufen bleibt stehen [mm]\bruch{3}{3}[/mm] = 1. Somit isr
> die Reihe nicht konvergent, ist das soweit richtig?
Die Reihe ist nicht konvergent, das ist richtig, aber das Kriterium ist falsch, denn
[mm] $\lim\sup\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \le [/mm] q < 1$
ist nur ein hinreichendes Kriterium kein notwendiges.
Es gilt aber:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n+1} \ge \frac{1}{3}\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$,
[/mm]
und die letzte Reihe divergiert bekanntlich (Stichwort: harmonische Reihe).
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
>
> Diese Reihe habe ich so auf Konvergenz überprüft:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{n!}{n^n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n} \wurzel[n]{n!}[/mm] und das muss ja kleiner als 1
> sein, da der Faktor [mm]\bruch{1}{n}[/mm] des Gesamtproduktes für n
> gegen unendlich gegen 0 läuft. Somit ist diese Reihe
> konvergent. Hab ichs verstanden, oder liege ich da immer
> noch falsch?
Naja, so kann man es nicht sagen, da du ja nichts über den Zähler aussagst.
Aber es gilt:
$n! [mm] \le \left(\frac{n}{2}\right)^n$
[/mm]
für $n [mm] \ge [/mm] 6$. Das hilt dir! Denn damit kannst du
[mm] $\wurzel[n]{\bruch{n!}{n^n}} \le \frac{1}{2}$
[/mm]
für $n [mm] \ge [/mm] 6$ abschätzen und bist fertig.
Viele Grüße
Julius
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