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| Aufgabe | Beweisen Sie mit den Reihendarstellungen von [mm] $\cos^2 [/mm] z$ und [mm] $\sin^2 [/mm] z$:
[mm] $\cos^2 z-\sin^2 z=\cos [/mm] 2z$ |
Hallo, ihr alle,
Die Reihendarstellungen lauten ja [mm] $\sin^2 z=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\frac{1}{2}*\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}$ [/mm] und [mm] $\cos^2 z=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\frac{1}{2}*\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}$.
[/mm]
Dann ergibt sich
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!} [/mm] $
[mm] $=\frac{1}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!} [/mm] $
Indexverschiebung:
[mm] $=\frac{1}{2}+\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!} [/mm] $
Das ist doch richtig bis hier, oder? Aber wie gehts weiter? Irgendwie muss ich ja zu [mm] $\cos [/mm] 2z$ kommen, wovon ich meiner Meinung nach weit entfernt bin.
Hat keiner einen kleinen Tipp?
Vielen Dank, Stefan.
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Hallo Stefan-auchLotti,
> Beweisen Sie mit den Reihendarstellungen von [mm]\cos^2 z[/mm] und
> [mm]\sin^2 z[/mm]:
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> [mm]\cos^2 z-\sin^2 z=\cos 2z[/mm]
> Hallo, ihr alle,
>
> Die Reihendarstellungen lauten ja [mm]\sin^2 z=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\frac{1}{2}*\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}[/mm]
> und [mm]\cos^2 z=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\frac{1}{2}*\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}[/mm].
>
> Dann ergibt sich
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}[/mm]
>
> Indexverschiebung:
>
> [mm]=\frac{1}{2}+\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}[/mm]
>
> Das ist doch richtig bis hier, oder? Aber wie gehts weiter?
Ja, das ist bis hier richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Irgendwie muss ich ja zu [mm]\cos 2z[/mm] kommen, wovon ich meiner
> Meinung nach weit entfernt bin.
>
> Hat keiner einen kleinen Tipp?
Fasse jetzt die zwei erhaltenen Reihen zu einer zusammen.
>
> Vielen Dank, Stefan.
>
>
Gruss
MathePower
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