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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 Mi 30.11.2005 | | Autor: | dEFcHILL |
hallo,
hatte die frage schon mal gestellt, doch konnte sie nocht loesen+jetzt ist sie schon geloescht...
also aufgabe:benutzen sie bekannte reihenentwicklungen, um den koeffizienten von [mm] x^{2*k} [/mm] in der taylor-reihe der funktion f(x) an der stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] anzugeben.
f(x)=1/x * sinh(3x) + [mm] e^{x^{2}/2} [/mm] +
[mm] \wurzel{1+x^{2}}
[/mm]
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meine ueberlegung:
[mm] e^{x^{2}/2} \hat= e^{x}-reihe [/mm] = 1 + x/1! + [mm] x^2/2! [/mm] + [mm] x^3/3!...+x^{n}/n!
[/mm]
-->1 + [mm] x^2/(2*1!) [/mm] + [mm] x^4/(4*2!) [/mm] + [mm] x^6/(8*3!)...
[/mm]
[mm] \wurzel{1+x^{2}} \hat= \wurzel{1+x}-reihe [/mm] = 1 +x/2 - [mm] \bruch{1}{8}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{48}x^3...
[/mm]
-->1 + [mm] x^2/2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{8}x^4 [/mm] + [mm] \bruch{3}{48}x^6
[/mm]
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okay, jetzt meine frage: welche bekannte reihe entspricht: 1/x * sinh(3x)
vllt.: sinh(x) = x + [mm] x^3/3! [/mm] + [mm] x^5/5!+... [/mm] ???
die 2. frage: wenn ich diese anfangsfolgen der verschiedenen reihen habe, was muss i tun, um den koeffizienten von x^2k zu bestimmen? muss i dann noch die reihen allgemein bestimmen-denn das wird ja ziemlich aufwendig..
vielen dank fuer hilfe, denn i hab schon pruefung am donnerstag..
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Hallo defchill,
also zunächst mal zum sinus hyperbolicus: denke an die definition
[mm] $\sinh x:=1/2\cdot (e^x-e^{-x})$
[/mm]
wenn man sich diese anguckt, kann man bezüglich der 'geraden' glieder der sinh-taylorreihe schon eine vermutung bekommen... (denke an den sinus)
was die andere fkt $1/x$ angeht, die du vielleicht aber gar nicht mehr brauchst, denke mal an die geometrische reihe...
VG
Matthias
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