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Hi, bei dieser Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{1+z^{2n}} [/mm] sollten wir zeigen, dass sie konvergent ist, das habe ich auch hinbekommen. Dann sollen wir aber jetzt auch eine Reihenentwicklung machen, und ich weiß gerade überhaupt nicht, wie ich das machen könnte. Kann mir vielleicht jemand helfen??
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Mo 23.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi, bei dieser Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{1+z^{2n}}[/mm] sollten wir
> zeigen, dass sie konvergent ist,
Wo soll sie konvergent sein ? Was ist die Behauptung ? Im punkt z = 1 ist die Reine dvergent, ebenso in z= -1, .....
>das habe ich auch
> hinbekommen. Dann sollen wir aber jetzt auch eine
> Reihenentwicklung machen,
Was solt Ihr genau machen ???
FRED
> und ich weiß gerade überhaupt
> nicht, wie ich das machen könnte. Kann mir vielleicht
> jemand helfen??
>
> Grüße
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Hi, ja die aufgabe war:
zeige sie, dass die reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{1+z^{2n}} [/mm] auf [mm] (z:|z|\not=1) [/mm] gleichmäßgig konvergiert und das ihre Summe auf D(0,1) eine Reihenentwicklung erlaubt. Bestimme diese Reihenentwicklung.
(Die Aufgabe ist eine Übersetzung ausm spanischen ins Deutsche, weiß deswegen nicht, ob alles 100% richtig ist).
Danke für Hilfe.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Mo 23.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi, ja die aufgabe war:
>
> zeige sie, dass die reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{1+z^{2n}}[/mm] auf
> [mm](z:|z|\not=1)[/mm] gleichmäßgig konvergiert und das ihre Summe
> auf D(0,1) eine Reihenentwicklung erlaubt.
Ich nehme an, dass D(0,1) die offene Einheitskreisscheibe ist.
Ist mit "Reihenentwicklung " vielleicht "Potenzreihenentwicklung " gemeint ?
Wenn ja, so ist die Lösung klar: wegen der gleichmäßigen konvergenz ist die Reihensumme auf D(0,1) holomorph und hat damit auf D(0,1) eine Potenzreihenentwicklung.
FRED
>Bestimme diese
> Reihenentwicklung.
> (Die Aufgabe ist eine Übersetzung ausm spanischen ins
> Deutsche, weiß deswegen nicht, ob alles 100% richtig ist).
>
> Danke für Hilfe.
> Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Mo 23.03.2009 | | Autor: | jaruleking |
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Hi,
da ja dann keine Antwort kam, habe ich mich im internet auch nochmal bisschen umgeschaut und kam auf diese seite:
http://hschaefer.fto.de/hm2/node107.html
Heißt das, ich muss von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{1+z^{2n}} [/mm] das hier [mm] \bruch{z^n}{1+z^{2n}} [/mm] nach z ableiten und dann schauen , was passiert???? Aber was ist mein [mm] z_0 [/mm] in diesem Fall, da war ja in der Aufgabe nichts erwähnt, außer dass man das in D(0,1) machen soll. Was heißt das jetzt???
Wäre über hilfe echt dankbar.
Grüße
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Wieder ist es die geometrische Reihe:
[mm]z^n \cdot \frac{1}{1 + z^{2n}} = z^n \cdot \frac{1}{1 - \left( - z^{2n} \right)} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left( z^{2k+1} \right)^n[/mm]
Darüber ist jetzt von [mm]n=1[/mm] bis [mm]n=\infty[/mm] aufzusummieren. Wenn man nach Potenzen von [mm]z[/mm] ordnet, findet man als Koeffizienten [mm]a_{\nu}[/mm] der Taylorreihe
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{1 + z^{2n}} = \sum_{\nu=1}^{\infty} a_{\nu} z^{\nu} \, , \ \ |z| < 1[/mm]
die Zahlen
[mm]a_{\nu} = \sum (-1)^{\frac{\mu - 1}{2}}[/mm] mit der Maßgabe, daß über alle positiven ungeraden Teiler [mm]\mu[/mm] von [mm]\nu[/mm] zu summieren ist.
Die Einzelheiten seien dir überlassen. Du solltest selber etwas aktiver werden.
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Hi Leopold, auch wenn du es dir vielleicht gar nicht vorstellen kannst, bin sehr aktiv, nur komm ich immer nicht auf was gescheites bzw. mir fallen dir richtigen ideen nicht ein :-(.
Also ich versuch mal deine Rechnung schritt für schritt nachzuvollziehen, das ist glaube ich der beste weg, um voranzukommen.
[mm] z^n \cdot \frac{1}{1 + z^{2n}} [/mm] = [mm] z^n \cdot \frac{1}{1 - \left( - z^{2n} \right)} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left( z^{2k+1} \right)^n
[/mm]
Die geo. Reihe lautet ja:
[mm] \frac{1}{1-z} [/mm] = [mm] \sum_{k \geq 0} z^k [/mm] für |z|<1, wenn ich das jetzt anwende, kommt:
[mm] z^n \cdot \frac{1}{1 + z^{2n}} [/mm] = [mm] z^n \cdot \frac{1}{1 - \left( - z^{2n} \right)} [/mm] = [mm] z^n \summe_{k=0}^{\infty}(-z^{2n})^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k (z^{2nk}*z^n) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k( z^{2k+1})^n
[/mm]
so, dass hat ja jetzt zum glück gut geklappt. aber das hier [mm] a_{\nu} [/mm] = [mm] \sum (-1)^{\frac{\mu - 1}{2}}, [/mm] das habe ich nicht so verstanden, wie du ds meinst. ich würde jetzt einfach oben zahlen für k einsetzten???
z.b. für k=1..4
d.h.: $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{1+z^{2n}} [/mm] $ =...= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k( z^{2k+1})^n [/mm] = [mm] z^n-z^{3n}+z^{5n}-z^{7n}+z^{9n}-......+(-1)^k( z^{2k+1})^n,
[/mm]
ist das jetzt so richtig??? Wäre das die Potzenreihenentwicklung von $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{1+z^{2n}} [/mm] $ ???
Grüße
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Du hast ja völlig die Summation über [mm]n[/mm] unterschlagen! Das ist schon etwas komplizierter, du bekommst hier nämlich eine Doppelreihe:
[mm]f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{1 + z^{2n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k z^{(2k+1)n} \right)[/mm]
Und wenn du die Summationsreihenfolge vertauschst, ergibt sich
[mm]f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( (-1)^k \sum_{n=1}^{\infty} \left( z^{2k+1} \right)^n \right)[/mm]
Es lohnt sich, das einmal ausführlich hinzuschreiben:
[mm]f(z) =[/mm]
[mm](-1)^0 \cdot \left( z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + \ldots \right)[/mm]
[mm]+ (-1)^1 \cdot \left( z^3 + z^6 + z^9 + z^{12} + z^{15} + \ldots \right)[/mm]
[mm]+ (-1)^2 \cdot \left( z^5 + z^{10} + z^{15} + z^{20} + z^{25} + \ldots \right)[/mm]
[mm]+ (-1)^3 \cdot \left( z^7 + z^{14} + z^{21} + z^{28} + z^{35} + \ldots \right)[/mm]
[mm]+ \ldots[/mm]
[mm]+ \ldots[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
Und das mußt du jetzt nach Potenzen von [mm]z[/mm] ordnen. Was ist zum Beispiel der Koeffizient von [mm]z^6[/mm]? Nun, [mm]z^6[/mm] kommt in der ersten und zweiten Zeile vor, danach nicht mehr. Also gilt:
[mm]f(z) = \ldots + \left( (-1)^0 + (-1)^1 \right) z^6 + \ldots[/mm]
Und so mußt du das für alle Potenzen machen. Dann hast du die gesuchte Potenzreihe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Mi 25.03.2009 | | Autor: | jaruleking |
Hi, vielen vielen dank für deine geduld.
grüße
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