Reihenentwicklung Exp.-Funkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:32 Sa 16.05.2009 | | Autor: | steppenhahn |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Zu der Aufgaben oben habe ich ein paar Fragen  .
Zuerst stelle ich fest, dass ich die Funktion $f(z) = [mm] \exp(z^{2})$ [/mm] vermutlich um den Punkt [mm] $z_{0} [/mm] = 1$ in eine Reihe entwickeln soll, weil in der Summe [mm] (z-1)^{r} [/mm] steht. Ist das richtig?
Muss ich die gesuchte Formel für die Koeffizienten [mm] d_{r} [/mm] jetzt selbst herausfinden, wenn da "angeben" steht? Ich berechne erstmal ein paar Ableitungen:
$f(z) = [mm] \exp(z^{2})$
[/mm]
$f(1) = [mm] 1*\exp(1)$.
[/mm]
$f'(z) = [mm] \exp(z^{2})*2z$
[/mm]
$f'(1) = [mm] 2*\exp(1)$
[/mm]
$f''(z) = [mm] 2*\exp(z^{2}) [/mm] + [mm] 4z^{2}*\exp(z^{2}) [/mm] = [mm] \exp(z^{2})*(2+4z^{2})$
[/mm]
$f''(1) = [mm] 6*\exp(1)$
[/mm]
$f'''(z) = [mm] 8z*\exp(z^{2}) [/mm] + [mm] \exp(z^{2})*2z*(2+4z^{2}) [/mm] = [mm] \exp(z^{2})*(12z [/mm] + [mm] 8z^{3})$
[/mm]
$f'''(1) = [mm] 20*\exp(1)$
[/mm]
$f''''(z) = (12 + [mm] 24z^{2})*\exp(z^{2}) [/mm] + [mm] \exp(z^{2})*2z*(12z [/mm] + [mm] 8z^{3}) [/mm] = [mm] \exp(z^{2})*(12 [/mm] + [mm] 48z^{2}+16z^{4})$
[/mm]
$f''''(z) = [mm] 76*\exp(1)$
[/mm]
$f'''''(z) = [mm] (96z+64z^{3})*\exp(z^{2}) [/mm] + [mm] \exp(z^{2})*2z*(12 [/mm] + [mm] 48z^{2}+16z^{4}) [/mm] = [mm] \exp(z^{2})*(120z [/mm] + [mm] 160z^{3} [/mm] + [mm] 32z^{5})$
[/mm]
$f'''''(1) = [mm] 312*\exp(1)$
[/mm]
Aber irgendwie werde ich daraus nicht schlau. Ich hab alternativ erstmal die Reihe von [mm] \exp(z) [/mm] um 1 bestimmt, da kommt man auf
[mm] $\exp(z) [/mm] = [mm] \summe_{r=0}^{\infinity}\bruch{\exp(1)}{r!}*(z-1)^{r}$
[/mm]
Aber so richtig funktioniert das alles nicht... Wie komme ich auf ein allgemeines Bildungsgesetz für die Koeffizienten [mm] d_{r} [/mm] ?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich erhalte momentan auch nichts sinnvolles. Aber vielleicht bekommst Du es mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion selber hin. Da die Reihe für alle $z$ absolut konvergiert, darfst Du doch (wenn ich mich nicht irre) komponentenweise differenzieren. Dann erhälst Du eine geschlossene Darstellung für allgemeine Ableitungen.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo!
>
> Zu der Aufgaben oben habe ich ein paar Fragen .
> Zuerst stelle ich fest, dass ich die Funktion [mm]f(z) = \exp(z^{2})[/mm]
> vermutlich um den Punkt [mm]z_{0} = 1[/mm] in eine Reihe entwickeln
> soll, weil in der Summe [mm](z-1)^{r}[/mm] steht. Ist das richtig?
Ja, ist richtig.
> Muss ich die gesuchte Formel für die Koeffizienten [mm]d_{r}[/mm]
> jetzt selbst herausfinden, wenn da "angeben" steht?
[mm] $d_r:=\frac{f^{(r)}(1)}{r!}$
[/mm]
> Ich
> berechne erstmal ein paar Ableitungen:
>
> [mm]f(z) = \exp(z^{2})[/mm]
> [mm]f(1) = 1*\exp(1)[/mm].
>
> [mm]f'(z) = \exp(z^{2})*2z[/mm]
> [mm]f'(1) = 2*\exp(1)[/mm]
>
> [mm]f''(z) = 2*\exp(z^{2}) + 4z^{2}*\exp(z^{2}) = \exp(z^{2})*(2+4z^{2})[/mm]
>
> [mm]f''(1) = 6*\exp(1)[/mm]
>
> [mm]f'''(z) = 8z*\exp(z^{2}) + \exp(z^{2})*2z*(2+4z^{2}) = \exp(z^{2})*(12z + 8z^{3})[/mm]
>
> [mm]f'''(1) = 20*\exp(1)[/mm]
>
> [mm]f''''(z) = (12 + 24z^{2})*\exp(z^{2}) + \exp(z^{2})*2z*(12z + 8z^{3}) = \exp(z^{2})*(12 + 48z^{2}+16z^{4})[/mm]
>
> [mm]f''''(z) = 76*\exp(1)[/mm]
>
> [mm]f'''''(z) = (96z+64z^{3})*\exp(z^{2}) + \exp(z^{2})*2z*(12 + 48z^{2}+16z^{4}) = \exp(z^{2})*(120z + 160z^{3} + 32z^{5})[/mm]
>
> [mm]f'''''(1) = 312*\exp(1)[/mm]
>
> Aber irgendwie werde ich daraus nicht schlau. Ich hab
> alternativ erstmal die Reihe von [mm]\exp(z)[/mm] um 1 bestimmt, da
> kommt man auf
>
> [mm]\exp(z) = \summe_{r=0}^{\infinity}\bruch{\exp(1)}{r!}*(z-1)^{r}[/mm]
>
> Aber so richtig funktioniert das alles nicht... Wie komme
> ich auf ein allgemeines Bildungsgesetz für die
> Koeffizienten [mm]d_{r}[/mm] ?
Wie ich bereits geschrieben habe, gelingt es mir derzeit nicht, aber etwa so müsste es dennoch gehen:
[mm] $\exp(z^2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z^2)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{k!}$
[/mm]
Jetzt musst Du n-mal ableiten.
> Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
Gruß Denny
|
|
|
| |
|
Hallo Denny,
[mm]\exp(z^2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z^2)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{k!}[/mm]
> Jetzt musst Du n-mal ableiten.
danke für deine Antwort! Aber was meinst du mit n-mal ableiten? Warum leiten wir überhaupt ab, dann ist es doch nicht mehr [mm] \exp(z^{2}) [/mm] ?
Ich würde erhalten nach n-mal ableiten(?):
[mm] $\left(\exp(z^{2})\right)^{(n)} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2k)!}{(2k-n)!*k!}*z^{2k - n}$
[/mm]
Vielen Dank für Eure Hilfe,
viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Denny,
>
> [mm]\exp(z^2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z^2)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{k!}[/mm]
soweit war das gut, nun benutze
[mm] $$(\star)\;\;\;\exp\big((z-1+1)^2\big)=\exp\big((z-1)^2+2*(z-1)+1\big)=\exp\big((z-1)^2\big)*\exp\big(2(z-1)\big)*\exp(1)$$
[/mm]
[mm] $$=\exp(1)*\exp\big((z-1)^2\big)*\exp(2(z-1))\,.$$
[/mm]
Hierbei ist
[mm] $$\exp\big((z-1)^2\big)=\frac{1}{0!}*(z-1)^0+0*(z-1)^1+\frac{1}{1!}*(z-1)^2+0*(z-1)^3+\frac{1}{2!}*(z-1)^4+0*(z-1)^5+\frac{1}{3!}*(z-1)^6+\ldots$$
[/mm]
und
[mm] $$\exp(2(z-1))=\frac{2^0}{0!}*(z-1)^0+\frac{2^1}{1!}*(z-1)^1+\frac{2^2}{2!}*(z-1)^2+\frac{2^3}{3!}*(z-1)^3+\ldots$$
[/mm]
Die Koeffizienten [mm] $d_k$ [/mm] von der Potenzreihenentwicklung von $z [mm] \mapsto z^2$ [/mm] um den Entwicklungspunkt $z=1$ folgt also z.B. aus dem Ergebnis von [mm] $(\star)$, [/mm] wobei Du auf [mm] $\exp\big((z-1)^2\big)*\exp(2(z-1))$ [/mm] das Cauchyprodukt loslassen kannst.
(Natürlich solltest Du zunächst schreiben:
[mm] $$\exp\big((z-1)^2\big)=\sum_{k=0}^\infty a_k(z-1)^k$$
[/mm]
mit
[mm] $$a_k:=\begin{cases}0,&\,\text{falls }k \text{ ungerade}\\\ldots,&\text{falls }k \text{ gerade}\end{cases}$$
[/mm]
und
[mm] $$\exp(2(z-1))=\sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{k!}(z-1)^k$$
[/mm]
und damit dann das Cauchyprodukt ausrechnen.)
P.S.:
Zur Kontrolle kannst Du das Ergebnis dann mit Deiner Rechnung von hier vergleichen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel,
zunächst vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Ich habe das Prinzip verstanden - weil die Reihenentwicklung für [mm] \exp(z^{2}) [/mm] um den Punkt 1 so undurchsichtig ist, führen wir das Problem gewissermaßen auf [mm] \exp((z-1)^{2}) [/mm] zurück und können so wieder eine Entwicklung um 0 machen.
Theoretisch habe ich doch aber
[mm] $\exp((z-1)^{2}) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*(z-1)^{k}$
[/mm]
[mm] $\exp(2(z-1))=\sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{k!}(z-1)^k [/mm] $
also nach dem Cauchy-Produkt
[mm] \exp(z^{2}) [/mm] = [mm] \exp(1)*\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}*(z-1)^{k}*\frac{2^{n-k}}{(n-k)!}(z-1)^{n-k}\right) [/mm] = [mm] \exp(1)*\sum_{n=0}^{\infty}\left((z-1)^{n}*\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{k}*2^{n-k}}{(n-k)!}\right)
[/mm]
wobei [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \frac{1}{(\frac{k}{2})!}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
Stimmt das so? Wie mache ich jetzt weiter, kann ich die Summe noch vereinfachen?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
|
|
|
| |
|
Hallo steppenhahn,
> Hallo Marcel,
> zunächst vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
> Ich habe das Prinzip verstanden - weil die
> Reihenentwicklung für [mm]\exp(z^{2})[/mm] um den Punkt 1 so
> undurchsichtig ist, führen wir das Problem gewissermaßen
> auf [mm]\exp((z-1)^{2})[/mm] zurück und können so wieder eine
> Entwicklung um 0 machen.
>
> Theoretisch habe ich doch aber
>
> [mm]\exp((z-1)^{2}) = \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*(z-1)^{k}[/mm]
>
> [mm]\exp(2(z-1))=\sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{k!}(z-1)^k[/mm]
>
> also nach dem Cauchy-Produkt
>
> [mm]\exp(z^{2})[/mm] =
> [mm]\exp(1)*\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}*(z-1)^{k}*\frac{2^{n-k}}{(n-k)!}(z-1)^{n-k}\right)[/mm]
> =
> [mm]\exp(1)*\sum_{n=0}^{\infty}\left((z-1)^{n}*\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{k}*2^{n-k}}{(n-k)!}\right)[/mm]
>
> wobei [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \frac{1}{(\frac{k}{2})!}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Stimmt das so? Wie mache ich jetzt weiter, kann ich die
> Summe noch vereinfachen?
Jetzt kannst Du noch das [mm]a_ {k}[/mm] einsetzen.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für deine Antwort!
[mm] $\exp(z^{2}) [/mm] = [mm] \exp(1)*\sum_{n=0}^{\infty}\left((z-1)^{n}*\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{k}*2^{n-k}}{(n-k)!}\right)
[/mm]
wobei
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \frac{1}{(\frac{k}{2})!}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases}$
[/mm]
Meinst du es so mit dem [mm] a_{k} [/mm] einsetzen:
[mm] $\exp(z^{2}) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\left((z-1)^{n}*\sum_{k=0}^{n}\frac{\exp(1)*\bruch{1}{k!}*2^{n-2k}}{(n-2k)!}\right)
[/mm]
?
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
Hallo steppenhahn,
> Hallo und danke für deine Antwort!
>
> [mm]$\exp(z^{2})[/mm] =
> [mm]\exp(1)*\sum_{n=0}^{\infty}\left((z-1)^{n}*\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{k}*2^{n-k}}{(n-k)!}\right)[/mm]
>
> wobei
>
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ \frac{1}{(\frac{k}{2})!}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases}$[/mm]
>
> Meinst du es so mit dem [mm]a_{k}[/mm] einsetzen:
>
> [mm]$\exp(z^{2})[/mm] =
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\left((z-1)^{n}*\sum_{k=0}^{n}\frac{\exp(1)*\bruch{1}{k!}*2^{n-2k}}{(n-2k)!}\right)[/mm]
>
> ?
Das ist fast richtig.
Die Summationsgrenzen der inneren Summ müssen natürlich dann auch geändert werden:
[mm]\exp(z^{2})=\sum_{n=0}^{\infty}\left((z-1)^{n}*\sum_{k=0}^{\red{2k \le n}}\frac{\exp(1)*\bruch{1}{k!}*2^{n-2k}}{(n-2k)!}\right)[/mm]
>
> Viele Grüße, Stefan.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
