Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mo 21.11.2011 | | Autor: | KaJaTa |
| Aufgabe | Zeigen sie die Divergenz der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ak
[mm] ak=\wurzel{k^{2}-3k+8} [/mm] - k indem sie nachweisen, dass ein notwendiges Kriterium für die reihenkonvergenz nicht erfüllt ist.
Erweitern sie mit ak geschickt und benutzen sie die 3. Binomische Formel. |
Hallo,
Auch wenn ich schon den Hinweis habe, dass ich erweitern soll, weiß ich leider nicht mit was. Kann mir wer weiterhelfen?
Danke im voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen sie die Divergenz der Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm]
> ak
> [mm]ak=\wurzel{k^{2}-3k+8}[/mm] - k indem sie nachweisen, dass ein
> notwendiges Kriterium für die reihenkonvergenz nicht
> erfüllt ist.
> Erweitern sie mit ak geschickt und benutzen sie die 3.
> Binomische Formel.
> Hallo,
>
> Auch wenn ich schon den Hinweis habe, dass ich erweitern
> soll, weiß ich leider nicht mit was. Kann mir wer
> weiterhelfen?
Der Hinweis geht auf einen uralten Trick , mit Bart bis Südafrika, hinaus.
Wenn Du einen Ausdruck der Form a-b hast. So hilft manchmal das Erweitern mit a+b:
[mm] $a-b=\bruch{(a-b)*(a+b)}{a+b}$
[/mm]
FRED
> Danke im voraus :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mo 21.11.2011 | | Autor: | KaJaTa |
Danke! Sowas in der Art habe mich schon gedacht. Das bringt mich aber nicht wirklich weiter, bzw. ich sehe den Sinn nicht ganz. Durch Erweitern erhalte ich:
[mm] \bruch{(\wurzel{k^{2}-3k+8}-k) * (\wurzel{k^{2}-3k+8}+k}{\wurzel{k^{2}-3k+8}+k)}= \bruch{8-3k}{\wurzel{k^{2}-3k+8}+k}
[/mm]
Damit geht der obere Term für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] gegen unendlich bzw. -3*unedlich
Aber was ist mit dem unteren?
Ich will ja zeigen, dass diese Folge keine Nullfolge ist und somit das sie divergiert.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Mo 21.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke! Sowas in der Art habe mich schon gedacht. Das bringt
> mich aber nicht wirklich weiter, bzw. ich sehe den Sinn
> nicht ganz. Durch Erweitern erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{k^{2}-3k+8}-k) * (\wurzel{k^{2}-3k+8}+k}{\wurzel{k^{2}-3k+8}+k)}= \bruch{8-3k}{\wurzel{k^{2}-3k+8}+k}[/mm]
>
> Damit geht der obere Term für [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm]
> gegen unendlich bzw. -3*unedlich
> Aber was ist mit dem unteren?
> Ich will ja zeigen, dass diese Folge keine Nullfolge ist
> und somit das sie divergiert.
Dividiere Zähler und Nenner des Bruches durch k, ziehe den Faktor $1/k$ vor der Wurzel in die Wurzel hinein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mo 21.11.2011 | | Autor: | KaJaTa |
Danke.
Dadurch erhalte ich:
[mm] (k^{2}-3k+8)*\bruch{1}{k^{2}} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{3}{k} [/mm] + [mm] \bruch{8}{k^{2}} [/mm]
Damit wäre der Grenzwert [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}ak [/mm] = -3
Daran sieht man, dass es keine Nullfolge ist und somit die Reihe divergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Mo 21.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke.
> Dadurch erhalte ich:
>
> [mm](k^{2}-3k+8)*\bruch{1}{k^{2}}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{3}{k}[/mm] +
> [mm]\bruch{8}{k^{2}}[/mm]
>
> Damit wäre der Grenzwert [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}ak[/mm] =
> -3
>
> Daran sieht man, dass es keine Nullfolge ist und somit die
> Reihe divergiert?
Genau!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Mo 21.11.2011 | | Autor: | KaJaTa |
Sorry.
Ich habe die +1 vergessen.
Damit beläuft sich der Grenzwert auf -3/2
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