Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Di 27.09.2005 | | Autor: | harri |
Hallo,
Ich hab eine Frage zur reihenkonvergenz.
Bei uns im Mathe Skript steht ein Beweis das die harmonische reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}
[/mm]
nicht beschränkt ist.
Sie erfüllt aber das notwendige kriterium [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k}=0
[/mm]
und weiterhin das quotientenkriterium da [mm] \bruch{\bruch{1}{k+1}}{\bruch{1}{k}} [/mm] = [mm] \bruch{k}{k+1} [/mm] = c mit c [mm] \in [/mm] (0,1)
wo ist mein denkfehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Mi 28.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bei uns im Mathe Skript steht ein Beweis das die
> harmonische reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm]
> nicht beschränkt ist.
>
> Sie erfüllt aber das notwendige kriterium
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k}=0[/mm]
> und weiterhin das quotientenkriterium da
> [mm]\bruch{\bruch{1}{k+1}}{\bruch{1}{k}}[/mm] = [mm]\bruch{k}{k+1}[/mm] = c
> mit c [mm]\in[/mm] (0,1)
besser heisst es c<1 und d,h. es muss einen echten Abstand zu 1 haben, der aber für wachsende k immer kleinerr wird.
es muss gelten [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{k+1}<1 [/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 28.09.2005 | | Autor: | harri |
Naja wenn ich mir die Summanden anschaue [mm] \bruch{1}{k}, [/mm] die werden für wachsende k immer kleiner.
für diesen fall, also [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] gilt bestimmt auch das Quotientenkriterium: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{k+1}<1
[/mm]
und trotzdem ist die reihe divergent?
Das Problem ist eben das ich hier ne nullfolge mit streng monoton fallenden folgengliedern habe, was eigentlich alle kriterien der reihenkonvergenz erfüllt, und trotzdem heisst es das die Reihe divergiert.
Kann das mal einer nachrechnen?
also ist die reihe wirklich divergent? und wo geht dann das quotientenkriterium für dieses spezielle Beispiel schief?
sprich warum hab ich hier nen widerspruch?
PS: danke für das willkommen :)
Super forum hier, das system gefällt mir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nein, es gilt:
[mm] $\limsup\limits_{k \to \infty} \frac{k}{k+1} [/mm] =1$,
aber das Quotientenkriterium verlangt:
[mm] $\limsup\limits_{k \to \infty} \left\vert \frac{a_{k+1}}{a_k} \right\vert [/mm] < 1$.
Also kein Widerspruch! 
(Genauer gesagt muss man beim Quotientenkriterium noch verlangen, dass es ein [mm] $k_0 \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $a_k \ne [/mm] 0$ für alle $k [mm] \ge k_0$.)
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Mi 28.09.2005 | | Autor: | harri |
Ich Honk :)
Danke
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Reihen-Konvergenzkriterien