Reihenkonvergenz mit Integral < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 Fr 06.07.2018 | | Autor: | Tobikall |
| Aufgabe | 1.)
Bestimmen sie für ein festes p>0 eine möglichst einfache Folge [mm] z_{N}, [/mm] sodass: [mm] z_{N}-\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}} [/mm] konvergiert.
2.)
Zeigen Sie für alle -1<a<0 die Konvergenz von [mm] x_{n}=\bruch{n^{a+1}}{a+1}(log(n)-\bruch{1}{a+1})\summe_{k=1}^{n-1}k^{a}log(k) [/mm] |
Wir haben schon gezeigt, dass [mm] \summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}} [/mm] konvergiert für p>1, allerdings fällt mir keine Folge ein, für die es auch für p>0 klappt.
Bei Teil 2 könnte man die Reihe doch abschätzen mit [mm] \summe_{k=1}^{n-1}k^{a}log(k)\ge\summe_{k=1}^{n-1}\bruch{log(k)}{k}, [/mm] welche dann divergiert, nur wie kann ich das mit dem ganzen Durcheinander davor in Vereinigung bringen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Fr 06.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> 1.)
> Bestimmen sie für ein festes p>0 eine möglichst einfache
> Folge [mm]z_{n},[/mm] sodass:
> [mm]z_{n}-\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}}[/mm] konvergiert.
Da stimmt was gewaltig nicht ! In [mm] \summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}} [/mm] is n der Summationsindex, der kommt aber hinter dem Summenzeichen gar nicht vor !
Damit ist auch [mm] z_{n}-\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}} [/mm] völlig sinnlos !
Also: wie lautet die Aufgabe korrekt ?
>
> 2.)
> Zeigen Sie für alle -1<a<0 die Konvergenz von
> [mm]x_{n}=\bruch{n^{a+1}}{a+1}(log(n)-\bruch{1}{a+1})\summe_{k=1}^{n-1}k^{a}log(k)[/mm]
> Wir haben schon gezeigt, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}}[/mm] konvergiert für p>1,
> allerdings fällt mir keine Folge ein, für die es auch
> für p>0 klappt.
> Bei Teil 2 könnte man die Reihe doch abschätzen mit
> [mm]\summe_{k=1}^{n-1}k^{a}log(k)\ge\summe_{k=1}^{n-1}\bruch{log(k)}{k},[/mm]
> welche dann divergiert, nur wie kann ich das mit dem ganzen
> Durcheinander davor in Vereinigung bringen?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Fr 06.07.2018 | | Autor: | Tobikall |
Tschuldigung, ich meinte natürlich
$ [mm] z_{n}-\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(n)}{n^{p}} [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Fr 06.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Tschuldigung, ich meinte natürlich
> [mm]z_{n}-\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(n)}{n^{p}}[/mm]
Das ist immer noch sinnlos, denn n kommt in zwei Bedeutungen vor.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Fr 06.07.2018 | | Autor: | Tobikall |
Habs jetzt nochmal kontrolliert und nun ist es wirklich so, wie es als Aufgabe da steht.
Bin ja ganz durcheinander 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Sa 07.07.2018 | | Autor: | Fulla |
Hallo Tobikall!
> 1.)
> Bestimmen sie für ein festes p>0 eine möglichst einfache
> Folge [mm]z_{N},[/mm] sodass:
> [mm]z_{N}-\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}}[/mm] konvergiert.
Da kommt jetzt in der Summe gar kein $n$ mehr vor... Sind vielleicht $p$ und $n$ dasselbe?
EDIT: In einer Mitteilung hast du ja geschrieben, dass an die Stelle von dem $x$ ein $n$ treten soll. Das ändert aber nichts an Folgendem:
Aber abgesehen von der Benennung - wie auch immer diese Summe aussehen soll, geht es denn einfacher als [mm]z_{N}:=\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}}[/mm]?
Ich glaube zwar nicht, dass der Aufgabensteller sich das so gedacht hat, aber es gilt doch
[mm]\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}}-\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}}=\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}}-\bruch{log(x)}{x^{p}}=0[/mm],
was offenbar gegen 0 konvergiert.
Lieben Gruß,
Fulla
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Aber [mm] z_{n} [/mm] soll doch eigentliche eine Folge sein und keine Reihe????
Kann mir denn auch noch zu der hier Aufgabe etwas sagen:
Zeigen Sie für alle -1<a<0 die Konvergenz von $ [mm] x_{n}=\bruch{n^{a+1}}{a+1}(log(n)-\bruch{1}{a+1})\summe_{k=1}^{n-1}k^{a}log(k) [/mm] $> 1.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mo 09.07.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> 1.)
> Bestimmen sie für ein festes p>0 eine möglichst einfache
> Folge [mm]z_{N},[/mm] sodass:
> [mm]z_{N}-\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}}[/mm] konvergiert.
>
Korrigiert:
[mm]z_{N}=\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(n)}{n^{p}}[/mm]
Wir haben schon gezeigt, dass $ [mm] \summe_{n=1}^{N}\bruch{log(n)}{n^{p}} [/mm] $ konvergiert für p>1, allerdings fällt mir keine Folge ein, für die es auch für p>0 klappt.
Das ist auch nicht möglich. Ich lasse mal n=1 weg, weil log(1)=0 ist.
Sei p [mm] \in [/mm] (0|1]. Dann gilt, da log monoton wächst:
[mm] \summe_{n=1}^{N}\bruch{log(n)}{n^{p}}=\summe_{n=2}^{N}\bruch{log(n)}{n^{p}}>\summe_{n=2}^{N}\bruch{log(2)}{n^{p}}=log(2)*\summe_{n=2}^{N}\bruch{n^{1-p}}{n} \ge log(2)*\summe_{n=2}^{N}\bruch{n^0}{n}=log(2)*\summe_{n=2}^{N}\bruch{1}{n},
[/mm]
und rechts steht eine divergente Reihe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 So 08.07.2018 | | Autor: | Tobikall |
| Aufgabe | 2.)
Zeigen Sie für alle -1<a<0 die Konvergenz von $ [mm] x_{n}=\bruch{n^{a+1}}{a+1}(log(n)-\bruch{1}{a+1})\summe_{k=1}^{n-1}k^{a}log(k) [/mm] $ |
Kann mir denn noch jemand mit der zweiten Aufgabe helfen, bei der ersten ist ja irgendwie der Wurm drin.
Am besten wendet man bei den Aufgaben doch das Integralvergleichskriterium an, so habe ich es zumindest versucht.
Bei der ersten Aufgabe soll ja meines Verständnisses nach auch eine Folge gefunden werden womit, wenn man die eigentlich divergente Reihe davon abzieht, etwas Konvergentes herauskommt.
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Hiho,
> 2.)
> Zeigen Sie für alle -1<a<0 die Konvergenz von
> [mm]x_{n}=\bruch{n^{a+1}}{a+1}(log(n)-\bruch{1}{a+1})\summe_{k=1}^{n-1}k^{a}log(k)[/mm]
> Kann mir denn noch jemand mit der zweiten Aufgabe helfen,
> bei der ersten ist ja irgendwie der Wurm drin.
Bei der aber irgendwie auch, da Folge nicht konvergent ist…
Es gilt offensichtlich für $n [mm] \ge [/mm] 3$
$ [mm] x_{n} \ge \bruch{3^{a+1}}{a+1}(log(n)-\bruch{1}{a+1})2^{a}\log(2) [/mm] = [mm] c_1\log(n) [/mm] - [mm] c_2 \to +\infty$
[/mm]
wobei [mm] $c_1,c_2 \in \IR$ [/mm] Konstanten sind
Gruß,
Gono
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Ja, da ist der Wurm drin:
> 1.)
> Bestimmen sie für ein festes p>0 eine möglichst einfache
> Folge $ [mm] z_{N}, [/mm] $ sodass:
> $ [mm] z_{N}-\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}} [/mm] $ konvergiert.
Was, bitte schön, soll denn [mm] z_{N} [/mm] sein? Irgend eine Folge, die du selber definieren kannst? Dann setz doch einfach
[mm] z_{N}=\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}}.
[/mm]
Damit wird [mm] z_{N}-\summe_{n=1}^{N}\bruch{log(x)}{x^{p}}=0 [/mm] für alle N und ist damit konvergent.
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Wenn du unbedingt für die Summe eine Integralabschätzung brauchst:
[mm] \integral \bruch{log(x)}{x^{p}} [/mm] dx
Substituiere y = log(x) [mm] \gdw [/mm] x = [mm] e^y \Rightarrow [/mm] dx = [mm] e^y [/mm] dy und damit
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1. Fall: p [mm] \ne [/mm] 1:
[mm] \integral \bruch{log(x)}{x^{p}} dx=\integral \bruch{y}{(e^y)^{p}} e^y [/mm] dy = [mm] \integral y*e^{(1-p)y} dy=\bruch{(1-p)y-1}{(1-p)^2}e^{(1-p)y}
[/mm]
Somit:
[mm] \integral_1^{\infty} \bruch{log(x)}{x^{p}} dx=\integral_0^{\infty} \bruch{y}{(e^y)^{p}} e^y [/mm] dy =
a) [mm] \bruch{1}{(1-p)^2} [/mm] für p>1
b) [mm] \infty [/mm] für p<1
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2. Fall: p = 1:
Dann ist [mm] \integral \bruch{log(x)}{x^{p}} dx=\integral \bruch{y}{(e^y)^{p}} e^y [/mm] dy = [mm] \integral [/mm] y [mm] dy=\bruch{1}{2}y^2, [/mm] und das Integral wird [mm] \infty.
[/mm]
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