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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Di 05.07.2011 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die beiden Reihen [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{q^k}{1+q^k}$ [/mm] für q>0 entweder beide konvergieren oder beide divergieren. |
Hallo,
[mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] konvergiert ja für |q|<1 und deshalb bestimmt auch die andere Reihe aber ich weiß leider nicht wie ich es zeigen kann.
Die Herleitung von [mm] q^k [/mm] über die Partialsummen hatten wir schon in einer Vorlesung besprochen, deshalb denke ich nicht das ich es für [mm] q^k [/mm] in der Aufgabe nochmal zeigen soll.
Kann mir jemand sagen wie ich vorzugehen habe?
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Hallo Trolli,
> Beweisen Sie, dass die beiden Reihen [mm]\sum_{k=0}^\infty q^k[/mm]
> und [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{q^k}{1+q^k}[/mm] für q>0 entweder
> beide konvergieren oder beide divergieren.
> Hallo,
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty q^k[/mm] konvergiert ja für |q|<1 und deshalb
> bestimmt auch die andere Reihe aber ich weiß leider nicht
> wie ich es zeigen kann.
> Die Herleitung von [mm]q^k[/mm] über die Partialsummen hatten wir
> schon in einer Vorlesung besprochen, deshalb denke ich
> nicht das ich es für [mm]q^k[/mm] in der Aufgabe nochmal zeigen
> soll.
>
> Kann mir jemand sagen wie ich vorzugehen habe?
Versuch's doch mit dem Vergleichskrit.
1.Fall: [mm]0
Dann ist bekannt, dass [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k[/mm] konvergiert.
Dann ist zu zeigen, dass auch die andere Reihe konvergiert.
[mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{q^k}{\underbrace{1+q^k}_{>1, \ \text{da} \ q>0}} \ < \ \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{q^k}{1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k[/mm]
Damit hast du eine konvergente Majorante ...
Gruß
schachuzipus
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