Reihenwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie Sie die Reihenwerte von :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!} [/mm] |
Hi,
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm]
in meiner Vorlesung steht das [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] divergiert, das würde ja heißen das die Reihe aus der Aufgabe auch divergiert, jedoch verstehe ich das nicht, den [mm] \bruch{1}{k} [/mm] ist eine Nullfolge, d.h. die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] müsste konvergieren?
Snafu
|
|
| |
|
Hallo,
> Berechnen Sie Sie die Reihenwerte von :
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm]
> Hi,
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
Der Ansatz ist schonmal gut!
Ich rate allerdings dazu, vor dem Auseinanderziehen der Summe einmal den Summanden k = 0 rauszuholen:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!} [/mm] = 1+ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}$
[/mm]
Du kannst dann bei der ersten Summe oben kürzen: [mm] $\frac{k}{k!} [/mm] = [mm] \frac{1}{(k-1)!}$.
[/mm]
(Dieser Ausdruck macht natürlich nur Sinn, wenn k bei 1 anfängt, deswegen haben wir das vorher aus der Summe rausgezogen).
Erinnere dich nun an die e-Funktion, und insbesondere an [mm] $e^{1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$...
[/mm]
> in meiner Vorlesung steht das [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm]
> divergiert, das würde ja heißen das die Reihe aus der
> Aufgabe auch divergiert,
Wieso? Ich sehe nirgends diese Reihe!
> jedoch verstehe ich das nicht, den
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] ist eine Nullfolge, d.h. die Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] müsste konvergieren?
Dass die Reihenglieder (also bei dir [mm] \frac{1}{k}) [/mm] eine Nullfolge bilden, ist ein notwendiges Kriterium dafür, dass die Reihe überhaupt konvergieren kann! Es reicht aber nicht aus, um zu garantieren, dass die Reihe konvergiert.
Also: Es gibt Reihen (sogar sehr viele!), deren Reihenglieder zwar eine Nullfolge bilden, die aber nicht konvergieren. Zum Beispiel eben die harmonische Reihe.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hi,
ok damit kann ich was anfangen:
[mm] \summe_{k=0}^n \bruch{k + 1}{k!} [/mm] = 1 + [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{k}{k!} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{1}{k!} [/mm] = 1+ [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{1}{(k-1)!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^n \bruch{1}{k!} [/mm] - 1 = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{1}{k!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] --->2e , k--> [mm] \infty
[/mm]
Snafu
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hi,
>
> ok damit kann ich was anfangen:
> [mm]\summe_{k=0}^n \bruch{k + 1}{k!}[/mm] = 1 + [mm]\summe_{k=1}^n \bruch{k}{k!}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=1}^n \bruch{1}{k!}[/mm] = 1+ [mm]\summe_{k=1}^n \bruch{1}{(k-1)!}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=0}^n \bruch{1}{k!}[/mm] - 1 = [mm]\summe_{k=0}^{n-1} \bruch{1}{k!}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm] --->2e , k--> [mm]\infty[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > Berechnen Sie Sie die Reihenwerte von :
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm]
> > Hi,
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm] =
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
>
> Der Ansatz ist schonmal gut!
> Ich rate allerdings dazu, vor dem Auseinanderziehen der
> Summe einmal den Summanden k = 0 rauszuholen:
hallo, bei uns in der mathe-vorlesung wurde gesagt, dass man unendliche summen nicht einfach auseinanderziehen darf, was ja hier passiert.
unter welcher vorraussetzung darf ich das denn trotzdem machen?
gruß tee
|
|
|
| |
|
Hallo fencheltee,
> > Hallo,
> >
> > > Berechnen Sie Sie die Reihenwerte von :
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm]
> > > Hi,
> > >
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm] =
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
> >
> > Der Ansatz ist schonmal gut!
> > Ich rate allerdings dazu, vor dem Auseinanderziehen der
> > Summe einmal den Summanden k = 0 rauszuholen:
> hallo, bei uns in der mathe-vorlesung wurde gesagt, dass
> man unendliche summen nicht einfach auseinanderziehen darf,
> was ja hier passiert.
> unter welcher vorraussetzung darf ich das denn trotzdem
> machen?
Das geht hier so schön, weil beide Teilsummen/Teilreihen absolut konvergent sind ...
>
>
> gruß tee
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:36 Di 04.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > Berechnen Sie Sie die Reihenwerte von :
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm]
> > > Hi,
> > >
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm] =
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
> >
> > Der Ansatz ist schonmal gut!
> > Ich rate allerdings dazu, vor dem Auseinanderziehen der
> > Summe einmal den Summanden k = 0 rauszuholen:
> hallo, bei uns in der mathe-vorlesung wurde gesagt, dass
> man unendliche summen nicht einfach auseinanderziehen darf,
> was ja hier passiert.
> unter welcher vorraussetzung darf ich das denn trotzdem
> machen?
Sind [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}b_i [/mm] beide konvergent, so ist auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(a_i+b_i) [/mm] konvergent und es gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(a_i+b_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i +\summe_{i=1}^{\infty}b_i [/mm]
FRED
>
>
> gruß tee
|
|
|
|
