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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 So 26.08.2007 | | Autor: | miradan |
| Aufgabe | Bestimmen SIe den Reihenwert der Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^\infty \left(5\right)^{-k}*\bruch{2^k+1+2^{-k}}{3} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bräuchte einen kleinen Denkanstoß. Bisher bin ich soweit:
[mm] \summe_{k=1}^\infty \left(5\right)^{-k}*\bruch{2^k+1+2^{-k}}{3}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^\infty \left(\left(\bruch{1}{5}\right)^k -1\right) *\left[\summe_{k=1}^\infty\left(\bruch{2^k}{3}\right)+\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{3}+\summe_{k=1}^\infty\bruch{2^{-k}}{3}\right]
[/mm]
was mach ich jetzt mit dem rechten Teil dieser Folge? ( [mm] \summe_{k=1}^\infty\bruch{1}{3} [/mm] ist klar, weil= [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] und links steht ja schon mein q, aber wie komme ich rechts auf ein q?
danke für Eure Hilfe.
Mira
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> Bestimmen SIe den Reihenwert der Reihe:
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> [mm]\summe_{k=1}^\infty \left(5\right)^{-k}*\bruch{2^k+1+2^{-k}}{3}[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich bräuchte einen kleinen Denkanstoß. Bisher bin ich
> soweit:
>
> [mm]\summe_{k=1}^\infty \left(5\right)^{-k}*\bruch{2^k+1+2^{-k}}{3}\overset{?}{=}\summe_{k=0}^\infty \left(\left(\bruch{1}{5}\right)^k -1\right) *\left[\summe_{k=1}^\infty\left(\bruch{2^k}{3}\right)+\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{3}+\summe_{k=1}^\infty\bruch{2^{-k}}{3}\right][/mm]
Du kannst die gegebene Reihe nicht so zerlegen: zum einen nicht, weil Du [mm] $\sum_{k=1}^\infty 5^{-k}$ [/mm] gar nicht so simpel "ausklammern" kannst und zum anderen, weil ja Deine beiden Teilsummen in der eckigen Klammer, [mm] $\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{2^k}{3}\right)$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=1}\frac{1}{3}$, [/mm] beide gegen [mm] $+\infty$ [/mm] divergieren.
Was Du allerdings simpel ausklammern kannst, ist die Division durch $3$ bzw. die Multiplikation mit [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] (siehe unten).
> was mach ich jetzt mit dem rechten Teil dieser Folge?
Du machst das gar nicht so (weil schon der erste Schritt falsch ist) sondern beginnst so:
[mm]\sum_{k=1}^\infty 5^{-k}\cdot{}\frac{2^k+1+2^{-k}}{3}=\frac{1}{3}\cdot\left[\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{2}{5}\right)^k+\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{5}\right)^k+\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{10}\right)^k\right]=\frac{1}{3}\cdot\left[\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{1-\frac{2}{5}}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{5}}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10}}\right]=\ldots[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 26.08.2007 | | Autor: | miradan |
danke für deine Antwort. Wir haben Reihen wirklich nur gestreift, müssen sie aber im Staatsexamen können. *heul*
also ich bin jetzt auf: [mm] \bruch{37}{108} [/mm]
gekommen.
Das sollte jetzt stimmen, da ich ja nur noch deine Vorgabe berechnen musste. Danke nochmal, jetzt hab ich auch eine Lösung für diese Art der Aufgaben. ;)
Mira
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> danke für deine Antwort. Wir haben Reihen wirklich nur
> gestreift, müssen sie aber im Staatsexamen können. *heul*
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> also ich bin jetzt auf: [mm]\bruch{37}{108}[/mm]
> gekommen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Stimmt (auch von CAS bestätigt).
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