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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 So 02.09.2007 | | Autor: | miradan |
| Aufgabe | Bestimmen SIe den Reihenwert der Reihe.
[mm] \summe_{k=1}^\infty (5)^{-k}*\bruch{2^k+1+2^{-k}}{3}
[/mm]
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Hallo Ihr Lieben,
ich hab das berechnet, doch mein Wert ist gar so "krumm". solche Brüche sind doch nicht typisch.
[mm] \summe_{k=1}^\infty (5)^{-k}*\bruch{2^k+1+2^{-k}}{3}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{5}^k*(\bruch{2}{3}^k+\bruch{1}{3}+(\bruch{1}{2*3})^k)
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^\infty \bruch{2}{15}^k [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}^k*\bruch{1}{3}+\bruch{1}{30}^k
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^\infty (\bruch{2}{15}^k-1)+\bruch{1}{3}*\summe_{k=0}^\infty (\bruch{1}{5}^k-1)+\summe_{k=0}^\infty(\bruch{1}{30}^k-1)
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{1-\bruch{2}{15}}-1)+\bruch{1}{3}*(\bruch{1}{1-\bruch{1}{5}}-1)+(\bruch{1}{1-\bruch{1}{30}}-1)
[/mm]
[mm] =-\bruch{2}{13}+\bruch{1}{12}-\bruch{1}{29}
[/mm]
= [mm] -\bruch{475}{4524} [/mm] Hä?
stimmt das so? Hab ich irgentwo einen Fehler drin? ich hab die Indesverschiebung beachtet, hab eigentlich alle Potenzgesetze richtig verwendet. Stimmt das so?
Grüße Mira
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Hallo Mira,
> Bestimmen SIe den Reihenwert der Reihe.
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> [mm]\summe_{k=1}^\infty (5)^{-k}*\bruch{2^k+1+2^{-k}}{3}[/mm]
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> Hallo Ihr Lieben,
>
> ich hab das berechnet, doch mein Wert ist gar so "krumm".
> solche Brüche sind doch nicht typisch.
>
> [mm]\summe_{k=1}^\infty (5)^{-k}*\bruch{2^k+1+2^{-k}}{3}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{5}^k*(\bruch{2}{3}^k+\bruch{1}{3}+(\bruch{1}{2*3})^k)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier steckt ein grober Fehler!
Zunächst musst du unbedingt Klammern setzen. [mm] 5^{-k}=\left(\frac{1}{5}\right)^k
[/mm]
Auch ist [mm] \text{\underline{nicht}} \frac{2^{-k}}{3}=\left(\frac{1}{2\cdot{}3}\right)^k [/mm] !! sondern [mm] =\frac{1}{3\cdot{}2^k}=\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{2^k}
[/mm]
Klammere doch zuallererst mal die [mm] \frac{1}{3} [/mm] ganz aus der Summe raus, also
[mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty}5^{-k}\cdot{}\frac{2^k+1+2^{-k}}{3}=\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^k\cdot{}\left(2^k+1+\left(\frac{1}{2}\right)^k\right)
[/mm]
Dann in 3 Summen aufteilen:
= [mm] \frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^k+\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^k+\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^k
[/mm]
Dann weiter...
> [mm]=\summe_{k=1}^\infty \bruch{2}{15}^k[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{5}^k*\bruch{1}{3}+\bruch{1}{30}^k[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^\infty (\bruch{2}{15}^k-1)+\bruch{1}{3}*\summe_{k=0}^\infty (\bruch{1}{5}^k-1)+\summe_{k=0}^\infty(\bruch{1}{30}^k-1)[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{1}{1-\bruch{2}{15}}-1)+\bruch{1}{3}*(\bruch{1}{1-\bruch{1}{5}}-1)+(\bruch{1}{1-\bruch{1}{30}}-1)[/mm]
Achtung hier, du kannst ja bei der Indexverschiebung nicht bei jedem Summanden die 1 fürs erste Glied abziehen, die wird beim Durchlauf von 0 bis [mm] \infty [/mm] nur einmal abgezogen, du hast ja die 1 auch nur einmal "dazugepfuscht"
Also von meiner letzten Bemerkung oben:
[mm] =\frac{1}{3}\cdot{}\left[\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^k\right)-1\right]+\frac{1}{3}\cdot{}\left[\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^k\right)-1\right]+\frac{1}{3}\cdot{}\left[\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^k\right)-1\right]
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
=
> [mm]=-\bruch{2}{13}+\bruch{1}{12}-\bruch{1}{29}[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{475}{4524}[/mm] Hä?
>
> stimmt das so? Hab ich irgentwo einen Fehler drin? ich hab
> die Indesverschiebung beachtet, hab eigentlich alle
> Potenzgesetze richtig verwendet. Stimmt das so?
leider nicht...
>
> Grüße Mira
Gruß zurück
schachuzipus
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