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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Geben Sie an, welcher der folgenden Ausdrücke konvergiert und berechnen Sie bei Konvergenz den Grenzwert.
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\pi)^k*\pi^k}{(2k!)}
[/mm]
[...] |
Hi!
Hätte hierzu eine Frage: Wie kann man denn von solchen Reihen den Wert bestimmen?
Konvergenz habe ich nachgewiesen (Zähler umformen, Leibniz-Kriterium) und durch simples ausrechnen kann man [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\pi)^k*\pi^k}{(2k!)}=-1 [/mm] vermuten.
Aber das meinen die wohl nicht wirklich mit "berechnen", oder?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie an, welcher der folgenden Ausdrücke konvergiert
> und berechnen Sie bei Konvergenz den Grenzwert.
>
> a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\pi)^k*\pi^k}{(2k!)}[/mm]
>
> [...]
> Hi!
>
> Hätte hierzu eine Frage: Wie kann man denn von solchen
> Reihen den Wert bestimmen?
> Konvergenz habe ich nachgewiesen (Zähler umformen,
> Leibniz-Kriterium) und durch simples ausrechnen kann man
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\pi)^k*\pi^k}{(2k!)}=-1[/mm]
> vermuten.
>
> Aber das meinen die wohl nicht wirklich mit "berechnen",
> oder?
>
> Teufel
Wie ist das [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\pi)^k*\pi^k}{(2k!)}[/mm] gemeint ?
Meinst Du
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\pi)^k*\pi^k}{(2k)!}[/mm]
oder
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\pi)^k*\pi^k}{2(k!)}[/mm]
?
Im ersten Fall ist die Cosinus-Reihe $cos(x)$=[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}[/mm] zuständig, denn
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\pi)^k*\pi^k}{(2k)!}[/mm] = [mm] $cos(\pi) [/mm] = -1$
Im zweiten Fall ist die Exponentialreihe [mm] $e^x [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} [/mm] $ zuständig, denn
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\pi)^k*\pi^k}{2(k!)}[/mm] = $ [mm] \bruch{1}{2}= \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-\pi^2)^k}{(k!)} [/mm] = [mm] \bruch{e^{-\pi^2}}{2}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
1. war gemeint!
Danke, daran habe ich gerade gar nicht gedacht. Muss mich mal mehr damit beschäftigen...
Auf alle Fälle ist alles klar, danke dir!
Teufel
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