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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Fr 19.11.2010 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Aufgabe:
Rekonstruktion eines Polynoms 3ten Grades:
Die Fkt. ist als Skizze dargestellt :
die quadr. Fkt hat eine doppelte Nullstelle im Ursprung(sie geht wie eine Normalparabel) bei x = [mm] \bruch{2}{3}a [/mm] hat die Funktion ihr Maximum Extremstelle [mm] (f(x=\bruch{2}{3}a)= [/mm] 1 und fällt dann wieder bei x=a f(x=a) = 0
Der Flächeninhalt von 0 bis a ist gegeben durch A = [mm] \bruch{8}{3} [/mm] |
f(x) = ax³ + bx² +cx +d
f(0) = 0 => d = 0 da an Stelle x= 0 der Schnittpunkt mit y-Achse = 0.
f´(x) = 3ax² + 2bx + c
f´(0) = 0 => c = 0 da die Steigung in x = 0 Null ist. waagrecht zur x-achse
Weitere Randbedingungen:
f(a) = 0 da an der Stelle x= a der y- Wert = 0
[mm] f´(x=\bruch{2}{3}a) [/mm] = 0 Die Steigung am Extrempunkt ist 0
Dann müsste
die Stammfunktion [ [mm] \bruch{ax^{4}}{4} [/mm] + [mm] \bruch{bx^{3}}{3}] [/mm] = [mm] \bruch{8}{3} [/mm] FE (Grenzen von 0 bis a)
Ich weiss nicht wie ich die Unbekannten rausbekomme, da die Werte auf xachse mit a und keiner Zahl benannt sind. Ich kreige bei den Umformungen immer hohe exponenten beim a und kann so nicht auflösen:
Vlt. ist bei x = a ein Wendepunkt?
Brauche Hilfe.
Lg
Stevie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Aufgabe:
>
> Rekonstruktion eines Polynoms 3ten Grades:
>
> Die Fkt. ist als Skizze dargestellt :
>
> die quadr. nein. kubische ! Fkt hat eine doppelte Nullstelle im Ursprung(sie
> geht wie eine Normalparabel) bei x = [mm]\bruch{2}{3}a[/mm] hat die
> Funktion ihr Maximum Extremstelle [mm](f(x=\bruch{2}{3}a)=[/mm] 1
> und fällt dann wieder bei x=a f(x=a) = 0
>
> Der Flächeninhalt von 0 bis a ist gegeben durch A =
> [mm]\bruch{8}{3}[/mm]
> f(x) = ax³ + bx² +cx +d
>
Das geht überhaupt nicht!
Du kannst nicht einerseits die Nullstelle der Funktion mit a bezeichnen und andererseits auch den Faktor bei [mm] x^3 [/mm] mit demselben Buchstaben a belegen !
Nenne die Nullstelle lieber [mm] x_0.
[/mm]
> f(0) = 0 => d = 0 da an Stelle x= 0 der
> Schnittpunkt mit y-Achse = 0.
>
richtig.
> f´(x) = 3ax² + 2bx + c
>
> f´(0) = 0 => c = 0 da die Steigung in x = 0 Null ist.
> waagrecht zur x-achse
>
richtig.
> Weitere Randbedingungen:
>
> f(a) = 0 da an der Stelle x= a
> der y- Wert = 0
> [mm]f´(x=\bruch{2}{3}a)[/mm] = 0 Die Steigung am
> Extrempunkt ist 0
>
Hinweis : Dies sieht zunächst wie eine weitere Forderung aus, ergibt sich aber, wie die Rechnung zeigt, bereits aus den bisherigen Bedingungen.
> Dann müsste
>
> die Stammfunktion [ [mm]\bruch{ax^{4}}{4}[/mm] + [mm]\bruch{bx^{3}}{3}][/mm]
> = [mm]\bruch{8}{3}[/mm] FE (Grenzen von 0 bis a)
>
Die Bedingung, dass der y-Wert des relativen Maximums 1 sein soll, muss noch berücksichtigt werden.
> Ich weiss nicht wie ich die Unbekannten rausbekomme, da die
> Werte auf xachse mit a und keiner Zahl benannt sind. Ich
> kreige bei den Umformungen immer hohe exponenten beim a und
> kann so nicht auflösen:
Vielleicht rühren die hohen Exponenten aus der doppelten Verwendung des a her ?
>
> Vlt. ist bei x = a ein Wendepunkt?
>
Niemals !
Für eine Funktion dritten Grades gilt, dass ihr Wendepunkt immer genau zwischen den Extrema (falls vorhanden) liegt, in jedem Fall ist die Funktion punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt.
> Brauche Hilfe.
>
> Lg
>
> Stevie
>
Mein Tipp :
Benutze den Ansatz f(x) = [mm] a*x^2*(x-x_0).
[/mm]
Damit hast du sofort die Nullstelle mit horizontaler Tangente bei 0 und die Nullstelle bei [mm] x_0 [/mm] berücksichtigt. Du brauchst auf diese Weise nur noch zwei Parameter zu bestimmen und nicht drei wie bei deinem Ansatz. Dein Ansatz funktioniert auch, ist aber etwas komplizierter.
Gruß Sax.
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