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Hallo!
Habe ein kleines problem: wir haben in der Schule ein neues Thema angefangen (Rekonstruktion von Funktionen, Stoff der 11. Klasse), und natürlich gleich eine Hausaufgabe...
Nun zur Frage:
Folgende Aufgabe sollen wir lösen=>
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat in P (1 |6) eine Tangente, die parallel zur X-Achse verläuft, und in Q (0 |4) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
habe erstmal einen ansatz gemacht (wie gelernt):
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d [/mm] (Funktion dritten Grades)
und dann die Ableitungen gebildet! So, nun muss man ja aus dem Text die Eigenschaft "rauslesen", also bin ich darauf gekommen (bin mir aber nicht sicher):
- f(0)=4, da Punkt Q besagt, wenn man 0 in f(x) einsetzt, das 4 rauskommt
habe noch ein paar weitere, bin mir aber nicht sicher ob die stimmen... Kann mir einer sagen, was die Tangente, Punkt P bzw. Q mir besagt?
Weil ich das ja brauch für die Aufgabe, nur leider weiß ich nicht, wie das geht... vielleicht könnt ihr mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Mi 26.01.2005 | | Autor: | dagmar |
Hallo!
Da ich neu im Forum bin hatte ich erst einige Probleme mit dem Ablauf (wie man Antworten schreibt und nochmal die Frage liest...), aber ich hoffe, jetzt klappt das hier und ich kann helfen...
Wenn eine Tangente durch einen Punkt parallel zur x-Achse verläuft, dann befindet sich in diesem Punkt eine relative Extremstelle (also ein Hoch- oder Tiefpunkt), also mit der 1. Ableitung arbeiten...
Also hier bei dir heißt das dann f'(1) = 0 !
Weiter sind die folgenden Informationen bei dir drin:
f(1) = 6
f(0) = 4 (wie du selbst geschrieben hast)
und
f''(0) = 0.
Hoffe, das hilft dir!
Grüße und Gute Nacht...
Dagmar
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Vielen dank! Also habe alles soweit verstanden, nur noch eine Frage: Wo hast die Eigenschaft: f"(0)=0 her (nur damit ich verstehe, was ich da rechne).
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Danke, ich werde mal das Ergebnis posten, nur zur Kontrolle;)!
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Okay! Ich habe das jetzt mal probiert, komme aber nicht ganz klar!!!===>
Habe erstmal die Funktion aufgestellt und ihre Ableitungen:
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)=3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
f"(x)=6ax+2b
Die Eigenschaften besagen dann:
1. f'(1)=0 => 3a+2b+c=0
2. f(1)=6 => a+b+c+d=6
3. f"(0)=0 => 2b=0 => b=0
4. f(0)=4 => d=4 soweit richtig?
Dann bin ich folgender Weise fortgefahren (wobei ich nicht weiß ob das stimmt):
1.-2.: 3a+0+c=0
-
a+0+c+4=6
__________
2a+4=-6
2a=-10
a=-5 (richtig?)
2.: -5+0+c+4=6
c-1=6
c=7 (richtig?)
So, dann habe ich mit den Eigenschaften überprüft, nur 1. war falsch!!!=>
1.: [mm] -15+0+7\not=0
[/mm]
Und nun? Wie soll ich jetzt weitermachen?
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> Okay! Ich habe das jetzt mal probiert, komme aber nicht
> ganz klar!!!===>
> Habe erstmal die Funktion aufgestellt und ihre
> Ableitungen:
> [mm]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
> [mm]f'(x)=3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
> f"(x)=6ax+2b
>
> Die Eigenschaften besagen dann:
> 1. f'(1)=0 => 3a+2b+c=0
> 2. f(1)=6 => a+b+c+d=6
> 3. f"(0)=0 => 2b=0 => b=0
> 4. f(0)=4 => d=4 soweit
> richtig?
>
> Dann bin ich folgender Weise fortgefahren (wobei ich nicht
> weiß ob das stimmt):
> 1.-2.: 3a+0+c=0
> -
> a+0+c+4=6
> __________
> 2a+4=-6
2a-4=-6
da ist ein falsches Vorzeichen reingerutscht
Gruss
Eberhard
> 2a=-10
> a=-5 (richtig?)
>
> 2.: -5+0+c+4=6
> c-1=6
> c=7 (richtig?)
>
> So, dann habe ich mit den Eigenschaften überprüft, nur 1.
> war falsch!!!=>
> 1.: [mm]-15+0+7\not=0
[/mm]
>
> Und nun? Wie soll ich jetzt weitermachen?
>
>
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.... was heißt, das die Funktion folgender masen aussehen müßte:
[mm] f(x)=-x^{3}+3x+4 [/mm] Oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Mi 02.03.2005 | | Autor: | birne242 |
ganz schön kompliziert als neuling sich hier zurechtzufinden :-/
die lösung hier ist falsch!!!!
da ich morgen klausur habe und mein mathebuch nicht viel hergibt wollte ich das internet nutzen und stoße gleich als erstes auf diese aufgabe!
die lösung lautet folgendermaßen:
f(x)= ax*3 + bx*2 + cx + d
f(1)= a + b + c + d = 4
f(0)= d = 4 --------------------------- erste variabel gefunden!!!!
Maximum --> Bedingung dafür lautet f'(x)=0
f'(x)= 3ax*2 + 2bx + c
f'(1)= 3a + 2b + c = 0
Wendepunkt --> Bedingung dafür lautet f''(x) = 0
f''(x)= 6ax + 2b
f''(0)= 2b = 0
b=0 ------------------------------- zweite variable gefunden
Gleichungssystem erstellen:
a + 0 + c + 4 = 6
- ( 3a + 0 + c = 0 )
______________________
2a + 4 = 6
a= 1 -------------------------------- dritte variable gefunden
einsetzen aller variablen um c zu ermitteln:
a + b + c + d = 6
1 + 0 + c + 4 = 6
c= 1 --------------------------------- vierte variable gefunden
die funktion lautet also:
f(x) = x*3 + x + 4
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Steckbriefaufgaben![[]](/images/popup.gif){kind=small}
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