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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Di 17.01.2023 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Gegeben ist die Folge [mm] a_n [/mm] durch
[mm] a_1=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}=0,25*(a_n^2)+1.
[/mm]
Zeige, dass [mm] a_n [/mm] konvergiert und ermittle den Grenzwert. |
Hallo,
im Prinzip war die Aufgabe kein Problem. Per Induktion habe ich gezeigt, dass [mm] (a_n) [/mm] nach oben beschränkt (durch 2) und außerdem monoton steigend ist. Daraus folgt die Konvergenz und der Grenzwert ist 2.
Nun meine Frage: ich habe jetzt noch (ohne Grund ;) ) versucht per Induktion zu zeigen, dass z.B. 100 eine obere Schranke ist. Allerdings scheitere ich daran. Im Induktionsschritt ist dann: [mm] a_{n+1}=0,25*(a_n^2)+1 [/mm] <= 2501 (wenn man [mm] a_n [/mm] <=100 voraussetzt), was offensichtlich nicht passen kann.
Woran liegt das denn?
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Hiho,
> Nun meine Frage: ich habe jetzt noch (ohne Grund ;) )
> versucht per Induktion zu zeigen, dass z.B. 100 eine obere
> Schranke ist.
Sehr gut! Fördert das Verständnis.
> Allerdings scheitere ich daran. Im
> Induktionsschritt ist dann: [mm]a_{n+1}=0,25*(a_n^2)+1[/mm] <= 2501
> (wenn man [mm]a_n[/mm] <=100 voraussetzt), was offensichtlich nicht
> passen kann.
Wieso sollte das nicht passen?
Du hast erkannt: Gilt [mm] $a_n \le [/mm] 100$, dann folgt erst mal nur sicher [mm] $a_{n+1} \le [/mm] 2500$
Eigentlich willst du ja das andere zeigen, nämlich dass gilt [mm] $a_{n+1} \le [/mm] 100$.
Das gilt eben genau dann, wenn [mm] $0,25*(a_n^2)+1 \le [/mm] 100 [mm] \quad \iff \quad a_n \le \sqrt{396} \approx [/mm] 19.9$, die Nichtnegativität von [mm] $a_n$ [/mm] mal vorausgesetzt.
Das bedeutet: Die Bedingung [mm] $a_{n+1} \le [/mm] 100$ erzwingt [mm] $a_n \le \sqrt{396} \approx [/mm] 19.9$
Macht man das jetzt weiter für [mm] $a_{n_1}$ [/mm] etc wirst du feststellen, dass du dich von oben der 2 annäherst.
Das bedeutet: 100 ist genau dann eine obere Schranke, wenn alle Folgenglieder kleiner gleich 2 sind, d.h. 2 eine obere Schranke ist.
Ist ein Folgenglied größer als 2, wächst die Folge unbeschränkt.
Was du implizit vorausgesetzt hast bei deiner Betrachtung ist ja, dass 100 als obere Schranke auch erreicht werden sollte, das muss für eine obere Schranke ja gar nicht gelten, wie dein Beispiel schön zeigt.
Gruß,
Gono
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