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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Matrix |
Hallo, mich beschäftigt die Lösung folgender Rekursion:
$ a(n) = A - [mm] B*(a(n-1))^4$ [/mm] , $a(0) = A $, A,B sind Konstanten.
Hierbei bin ich nicht primär am Lösungsweg interessiert, sondern vielmehr an der Lösung. Es handelt sich nicht um eine Übungsaufgabe, daher kann die Lösung beliebig kompliziert werden.
Ich wollte fragen, da ich mit Maple 9 gescheitert bin, ob jemand eine Art Tabellenwerk für Rekursionen kennt, in welchem man die Lösung vielleicht nachschlagen kann, oder ein speziell hierfür entwickeltes Programm, oder ob jemand ein Verfahren kennt um eine solche Rekursion zu lösen, oder einfach die Lösung kennt.
Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank im Voraus,
Lars v. d. Wense
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lars,
> [mm]a(n) = A - B*(a(n-1))^4[/mm] , [mm]a(0) = A [/mm], A,B sind Konstanten.
generell kann man bei rekursiv definierten folgen so vorgehen:
1.) man zeigt, dass die folge überhaupt konvergiert, z.B. weil sie monoton und beschränkt ist.
2.) unter voraussetzung von 1.) geht man in der folge-definition zum grenzwert über und kann diesen (im idealfall) durch auflösung der entstehenden gleichung bestimmen.
In deinem konkreten fall müsste also zunächst die existenz eines grenzwertes $a$ bewiesen werden. allerdings bezweifele ich ehrlich gesagt, dass dies überhaupt möglich ist. Für $A,B=1$ zum Beispiel erhalte ich die alternierende Folge $1,0,1,0,1,....$, die also definitiv nicht konvergiert. Sollte für bestimmte $A,B$ doch die Konvergenz nachweisbar sein, würde man dann zum Grenzwert übergehen und die Gleichung
[mm] $a=A-B\cdot a^4$
[/mm]
erhalten. Ein potenzieller Grenzwert müsste also diese gleichung erfüllen.
Viele Grüße
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Mi 05.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Matthias!
Ich glaube, es geht hier nicht darum, die Konvergenz nachzuweisen, sondern nur darum die Rekursion aufzulösen. Dein Beitrag beantwortet die Frage also nicht, ich hab sie deshalb wieder auf unbeantwortet gesetzt.
Gruß taura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Mi 05.10.2005 | | Autor: | felixs |
> [mm]a(n) = A - B*(a(n-1))^4[/mm] , [mm]a(0) = A [/mm], A,B sind Konstanten.
wenn ich mich richtig erinnere loest man solche dinge mit hilfe der Z-transformnation.
das ist sone art diskrete laplace transformation. rechenregeln und tabellen hierzu findest du z.b. im bronstein (mathematikformelsammlung).
hth
--felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 So 09.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Matrix!
Leider konnte hier niemand deine Frage in dem von dir vorgesehenen Fälligkeitszeitraum vollständig beantworten. Allerdings wurde ja ein vielversprechender Tipp gegeben, den du mal verfolgen solltest. Melde dich bitte wieder bei Rückfragen dazu... 
Liebe Grüße
Stefan
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