Rekursion und erzeugenden Fkt. < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:35 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | | Wie lautet zu der rekursiven Folge [mm] 2a_n-a_{n-1}-a_{n-2}=1 [/mm] für [mm] n\ge2 [/mm] mit [mm] a_0:=\bruch{1}{2}, a_1:=\bruch{3}{4} [/mm] die erzeugenden Funktion? |
Hi!
Ich komme bei meiner Lösung nicht weiter. Hier mal mein bisheriger Weg:
$ [mm] 2a_n-a_{n-1}-a_{n-2}=1 \Rightarrow a_n [/mm] = [mm] \bruch{1+a_{n-1}+a_{n-2}}{2}
[/mm]
Einsetzen:
a(t) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*t^n [/mm] = [mm] \summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{1+a_{n-1}+a_{n-2}}{2})t^n=\summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{1}{2}t^n+\bruch{a_{n-1}}{2}*t^n+\bruch{a_{n-2}}{2}*t^n)=\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{2}t^n [/mm] + [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{a_{n-1}}{2}*t^n [/mm] + [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{a_{n-2}}{2}*t^n=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2}t^{n+2} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{2}*t^{n+1} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_{n}}{2}*t^{n+2}=t^2*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2}t^{n} [/mm] + [mm] t*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{2}*t^{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}t^2*a(t)
[/mm]
So hier komme ich nun nicht weiter. Für den ersten Teil der Summe ist mir eine erzeugenden Funktion bekannt, d.h. die kann ich ohne Probleme angeben. Nur für den mittleren Teil, also $ [mm] t\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{2}\cdot{}t^{n} [/mm] $ weiss ich nicht, wie ich da weiter vorgehen soll. Optimal wäre es natürlich, wenn ich den Ausdruck irgendwie so umformen kann, dass da was mit a(t) rauskommt. Jemand von euch eine Idee/Ansatz wie ich da weitermachen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mo 15.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo Pille
Du musst beachten, dass die Rekursion erst für [mm] $n\geq [/mm] 2$ gilt. Dann bekommt man
[mm] $a(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n=a_0+a_1t+\sum_{n=2}^{\infty}\frac12(1+a_{n-1}+a_{n-2})t^n =a_0+a_1t+\frac12\sum_{n=2}^{\infty}t^n+\frac12\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}t^n+ \frac12\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}t^n$
[/mm]
Die zwei letzten Summanden kann man umformen
[mm] $\frac12\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}t^n=\frac12\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}t^{n+1} =\frac t2\sum_{n=1}^{\infty}a_nt^n=\frac t2(a(t)-a_0)$
[/mm]
[mm] $\frac12\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}t^=\frac{t^2}{2}a(t)$
[/mm]
Jetzt nur noch nach $a(t)$ aufloesen und [mm] $a_0=\frac12$ [/mm] und [mm] $a_1=\frac34$ [/mm] einsetzen.
Ich erhalte [mm] $a(t)=\dfrac{1}{(t-1)(t^2-t-2)}$
[/mm]
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ahhh danke, ich hatte mich schon gewundert wo die Anfangswerte ins Spiel kommen ;) Danke!
Hmm komisch, laut "Musterlösung" sollte folgendes dabei herauskommen:
a(t) = [mm] \bruch{1}{(1-t)^2(2+t)}
[/mm]
Selbst einsetzen führt nicht wirklich zu einer wahren Gleichung:
a(t)= [mm] \bruch{1}{(1-t)^2(2+t)} [/mm] = [mm] a_0+a_1+\bruch{t^2}{2}*\bruch{1}{1-t}+\bruch{t}{2}(\bruch{1}{(1-t)^2(2+t)}-a_0)+\bruch{t^2}{2}*\bruch{1}{(1-t)^2(2+t)}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mo 15.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo Pille
Ich hatte noch einen Schreibfehler, meine Loesung sollte [mm] $a(t)=\dfrac{1}{(t-1)(t^2\red+t-1)}$ [/mm] lauten.
Das ist die gleiche Loesung, da sich [mm] $t^2+t-2=(t+2)(t-1)$ [/mm] faktorisieren laesst.
mfg Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:52 Di 16.06.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hmm naja okay, dann weiss ich schonmal, dass die Musterlösung richtig ist und ich wahrscheinlich einen kleinen Rechenfehler oder so habe. Werde ich mich wohl mal durchwühlen müssen....
Aber danke für die Antwort :)
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