Rekursionsprinzip < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Fr 19.10.2007 | | Autor: | nimet |
| Aufgabe | Beispiel 2
Die Folge [mm] a_{n}:=1+2+....+n [/mm] wird genauer rekursiv durch
(ANF) [mm] a_{1}:=1
[/mm]
(Schritt) [mm] a_{n+1}:= a_{n}+ [/mm] (n+1)
definiert. Mit vollständiger Induktion zeigt man
[mm] a_{n}= \bruch{1}{2}n(n+1) [/mm] |
hallo,
also arbeite grad meine vorlesung durch um ein paar aufgaben zu machen mit dem rekursionsprinzip!versuche mir seit stunden das beispiel aus der vorlesung klar zu machen und habe auch viele rechenmethoden versucht aber ich scheiter immer kläglich daran!wäre super lieb wenn mir jemand erklären würde wie man von der Rekursion zur Induktion kommt damit man nachher dort [mm] a_{n}:=\bruch{1}{2}n(n+1) [/mm] stehen hat, denn das ist mir nicht klar!
bedanke mich im vorraus
LG
nimet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo nimet!
Im Induktionsschritt musst Du zeigen, dass gilt: [mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*(n+1)*(n+1+1) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*(n+1)*(n+2)$ [/mm] .
Dafür brauchst Du hier ledigliech die Rekursionsvorschrift verwenden und dann die Induktionsvoraussetzung einsetzen:
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \red{a_n}+(n+1) [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{1}{2}*n*(n+1)}+(n+1) [/mm] \ = \ ...$$
Nun ausklammern, zusammenfassen ... fertig!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Fr 19.10.2007 | | Autor: | nimet |
achso und ich dachte das ich ohne die Induktion zu benutzen aus dem Rekursionsprinzip die Induktion herleiten soll!also darf und muss ich halt die Induktion benutzen um die Rekursion zu beweisen!
habe andersrum gedacht!:)
danke vielmals Loddar ;))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Fr 19.10.2007 | | Autor: | nimet |
wie sieht es aus wenn ich kein [mm] a_{n} [/mm] dazu gegeben habe???also ich erst mal eins bilden muss!angenommen für 1+3+5+...+n. wie gehe ich da voran????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo nimet!
Das geht dann genauso. Dein Term wird ja lauten:
[mm] $$s_n [/mm] \ = \ 1+3+5+...+(2n-1)$$
Damit gilt auch automatisch:
[mm] $$s_{n+1} [/mm] \ = \ 1+3+5+...+(2n-1)+[2*(n+1)-1] \ = \ [mm] \underbrace{1+3+5+...+(2n-1)}_{= \ s_n}+(2n+1) [/mm] \ = \ [mm] s_n+(2n+1)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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