Rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 So 25.11.2007 | | Autor: | schnuri |
| Aufgabe | Wir betrachten die rekursiv definierte Folge
$ [mm] a_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] , [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{2a_n} [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 1 $
a) Zeigen Sie, dass $ [mm] a_n \le [/mm] 2 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $
b) Zeigen Sie, dass die Folge monoton wachsend ist
c) Ist diese Folge konvergent? Begründen Sie ihre Antwort und geben Sie den Grenzwert an, falls vorhanden |
Hallo Zusammen,
brauche mal wieder einen Ruck in die richtige Richtung.
a) Beweis mittels vollständiger Induktion
Zu zeigen: $ [mm] a_{n} \le [/mm] 2 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $
IA: n = 2
$ [mm] a_2 [/mm] = [mm] \wurzel{2 \cdot a_1} [/mm] = [mm] \wurzel{2 \cdot \wurzel{2}} [/mm] = 1.682 [mm] \le [/mm] 2 $
IS: $ n [mm] \longrightarrow [/mm] n+1 $
IVor: Behauptung gelte für alle n
IBeh: [mm] a_{n+1}\le2
[/mm]
$ [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{2 \cdot a_n} [/mm] $
Da $ [mm] \wurzel{x} \le [/mm] 2 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR \le [/mm] 4 $ und $ 2 [mm] \cdot a_n \le [/mm] 4 [mm] \forall [/mm] n$ ist $ [mm] \wurzel{2 \cdot a_n} [/mm] = [mm] a_{n+1} \le [/mm] 2 $
Ist das ausreichend? Ich weiss nicht, wie ich zeigen soll oder formulieren, dass [mm] a_n [/mm] immer kleiner 2 ist.
b) Monoton wachsend trifft zu, wenn $ [mm] a_n \le a_m \forall [/mm] n [mm] \le [/mm] m $
Wie kann ich das am besten zeigen?
c) Hier weiss ich, dass die Folge gegen 2 konvergiert. Irgendwie mit limes ansetzen?
Wäre euch für Tipps sehr dankbar!
Viele Grüße, schnuri
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo schnuri,
> Wir betrachten die rekursiv definierte Folge
> [mm]a_1 = \wurzel{2} , a_{n+1} = \wurzel{2a_n} , n \ge 1[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]a_n \le 2 \forall n \in \IN[/mm]
> b) Zeigen
> Sie, dass die Folge monoton wachsend ist
> c) Ist diese Folge konvergent? Begründen Sie ihre Antwort
> und geben Sie den Grenzwert an, falls vorhanden
> Hallo Zusammen,
>
> brauche mal wieder einen Ruck in die richtige Richtung.
>
> a) Beweis mittels vollständiger Induktion
>
> Zu zeigen: [mm]a_{n} \le 2 \forall n \in \IN[/mm]
>
> IA: n = 2
Du kannst ruhig bei $n=1$ anfangen 
> [mm]a_2 = \wurzel{2 \cdot a_1} = \wurzel{2 \cdot \wurzel{2}} = 1.682 \le 2[/mm]
>
> IS: [mm]n \longrightarrow n+1[/mm]
> IVor: Behauptung gelte für alle
besser: IVor: Gelte die Beh. für ein beliebiges aber festes [mm] $n\in\IN$, [/mm] also gelte [mm] $\red{a_n\le 2}$
[/mm]
> n
> IBeh: [mm]a_{n+1}\le2[/mm]
>
> [mm]a_{n+1} = \wurzel{2 \cdot a_n}[/mm]
>
> Da [mm]\wurzel{x} \le 2 \forall x \in \IR \le 4[/mm] und [mm]2 \cdot a_n \le 4 \forall n[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Hmm, gehe von [mm] $a_{n+1}$ [/mm] aus und verwende die rek. Def und die Indvor.
[mm] $a_{n+1}=\sqrt{2\red{a_n}}\le\sqrt{2\cdot{}\red{2}}$ [/mm] nach Ivor
[mm] $=\sqrt{4}=2$
[/mm]
> ist [mm]\wurzel{2 \cdot a_n} = a_{n+1} \le 2[/mm]
>
> Ist das ausreichend? Ich weiss nicht, wie ich zeigen soll
> oder formulieren, dass [mm]a_n[/mm] immer kleiner 2 ist.
>
> b) Monoton wachsend trifft zu, wenn [mm]a_n \le a_m \forall n \le m[/mm]
>
> Wie kann ich das am besten zeigen?
zeige [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$
[/mm]
Benutze einfach die rek. Def.
> c) Hier weiss ich, dass die Folge gegen 2 konvergiert.
> Irgendwie mit limes ansetzen?
Es ist ja [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a$
[/mm]
Das Ding existiert, weil deine Folge monoton (wachsend) und beschränkt ist
Setze das an und löse nach a auf
> Wäre euch für Tipps sehr dankbar!
>
> Viele Grüße, schnuri
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 So 25.11.2007 | | Autor: | schnuri |
Hi schachuzipus,
danke für die schnelle Antwort!
Ist ja echt nicht so schwer gewesen! Wie immer fehlte die Sicherung, dass man auf dem richtigen Pfad ist (oder auch nicht  ).
Zu a) Ich kenne ja den Wert für n=1, habe deswegen bei 2 angefangen. Oder kann ich einfach schreiben
IA: n=1
$ [mm] a_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] $ laut Aufgabenstellung
b)
Zu zeigen: $ [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n} \ge [/mm] 1 $ (stimmt, das ist ja nur größer gleich 1, wenn der Zähler größer gleich Nenner ist, also der Nachfolger größer oder gleich ist)
$ [mm] \Rightarrow \frac{\wurzel{2 \cdot a_n}}{a_n} \ge [/mm] 1 $
$ [mm] \Rightarrow \frac{2 \cdot a_n}{a_n^2} \ge 1^2 [/mm] = 1$
$ [mm] \Rightarrow \frac{2}{a_n} \ge [/mm] 1$
Wie in a) gezeigt ist $ [mm] a_n \le [/mm] 2 $, somit maximal 2 $ [mm] \Rightarrow \frac{2}{2} \ge [/mm] 1 $
fertig!
c)
Aus a) und b) folgt, dass die Folge mit $ [mm] a_n \le [/mm] 2 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $ beschränkt und monoton wachsend ist, somit auch konvergent laut Definition.
$ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_n [/mm] = [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} [/mm] = a $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] a = [mm] \wurzel{2 \cdot a}$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow a^2 [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] a $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] a = 2 = [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_n$
[/mm]
fertig!
Die Folge konvergiert somit mit $ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_n [/mm] = 2 $
Kann ich es so stehen lassen?
Vielen Dank!
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Hallo nochmal,
ja das sieht schon ganz gut aus
> Hi schachuzipus,
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> Zu a) Ich kenne ja den Wert für n=1, habe deswegen bei 2
> angefangen. Oder kann ich einfach schreiben
> IA: n=1
> [mm]a_1 = \wurzel{2}[/mm] [mm] \red{\le 2} [/mm] laut Aufgabenstellung
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") jo, das ist ok
> b)
> Zu zeigen: [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1[/mm] (stimmt, das ist ja
> nur größer gleich 1, wenn der Zähler größer gleich Nenner
> ist, also der Nachfolger größer oder gleich ist)
>
> [mm]\Rightarrow \frac{\wurzel{2 \cdot a_n}}{a_n} \ge 1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{2 \cdot a_n}{a_n^2} \ge 1^2 = 1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{2}{a_n} \ge 1[/mm]
>
> Wie in a) gezeigt ist [mm]a_n \le 2 [/mm], somit maximal 2
> [mm]\Rightarrow \frac{2}{2} \ge 1[/mm]
> fertig!
Hmm, das ist formal etwas schwierig, du sollst ja genau das zeigen, wovon du ausgegangen bist
Also müsstest du sämtlich Äquivalenzumformungen machen, das ist aber beim Quadrieren schwierig.
Gehe doch einfach von der linken Seite [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] aus und schätze es genauso, wie du es gemacht hast ab, dann haste eine Gleichungs-/Ungleichungskette, da kann dir formal nix passieren
>
> c)
> Aus a) und b) folgt, dass die Folge mit [mm]a_n \le 2 \forall n \in \IN[/mm]
> beschränkt und monoton wachsend ist, somit auch konvergent
> laut Definition.
>
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} = a[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a = \wurzel{2 \cdot a}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a^2 = 2 \cdot a[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a = 2 = \lim\limits_{n\to\infty}a_n[/mm]
> fertig!
$a=0$ ist ja auch eine Lösung dieser Gleichung, das kannst - und solltest du explizit im Sinne einer vollst. Lösung der Aufgabe - ausschließen - warum?
>
> Die Folge konvergiert somit mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n = 2[/mm]
>
> Kann ich es so stehen lassen?
beinahe
>
> Vielen Dank!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 So 25.11.2007 | | Autor: | schnuri |
Hi,
>
> Gehe doch einfach von der linken Seite [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
> aus und schätze es genauso, wie du es gemacht hast ab, dann
> haste eine Gleichungs-/Ungleichungskette, da kann dir
> formal nix passieren
Uff... wenn ich dazu schreibe, dass ich nur problemlos quadrieren kann, weil [mm] a_n [/mm] immer positiv ist, müsste das doch gehen?
$ [mm] \frac{\wurzel{2 \cdot a_n}}{a_n} \ge [/mm] 1 [mm] \gdw \frac{2 \cdot a_n}{a_n^2} [/mm] = [mm] \frac{2}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{2}{2} [/mm] = 1 [mm] \ge [/mm] 1 = [mm] 1^2 [/mm] $
Und würde dann drunter kurz schreiben, wieso ich für [mm] a_n [/mm] die 2 eingesetzt habe: Wie in a) gezeigt ist [mm]a_n \le 2 [/mm], somit maximal 2.
>
> > c)
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} = a[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a = \wurzel{2 \cdot a}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a^2 = 2 \cdot a[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a = 2 = \lim\limits_{n\to\infty}a_n[/mm]
> fertig!
> [mm]a=0[/mm] ist ja auch eine Lösung dieser Gleichung, das kannst -
> und solltest du explizit im Sinne einer vollst. Lösung der
> Aufgabe - ausschließen - warum?
>
stimmt!! ist mir gar nicht aufgefallen!
dann würde ich die eine Zeile kommentieren:
$ [mm] \Rightarrow a^2 [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] a $ (wobei $ a [mm] \not= [/mm] 0 $ da [mm] a_1>0 [/mm] und Folge monoton steigend)
> beinahe
Mist, zu früh gefreut
Ich muss die Aufgaben morgen früh abgeben, kann dann also nicht mehr nachkorrigieren. Besten Dank für die Hilfe, den Grundgedanken habe ich verstanden!
Gruß, schnuri
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Hallo,
nochmal zur Monotonie:
ich würd's so aufschreiben:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2a_n}}{a_n}=\frac{\sqrt{2a_n}}{\sqrt{a_n^2}}=\sqrt{\frac{2a_n}{a_n^2}}=\sqrt{\frac{2}{a_n}}\ge\sqrt{\frac{2}{2}}=\sqrt{1}=1$
[/mm]
LG
schachuzipus
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