Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:24 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Memorius |
| Aufgabe | Die Aufgabenstellung lautet: Finden und beweisen sie die explizite Darstellung von [mm] a_{n}.
[/mm]
a1 = 2, [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \summe_{j=1}^{n} a_{j}
[/mm]
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Hallo!
Wollte ich [mm] a_{2} [/mm] ausrechnen, wärs dann richtig es auf diese Weise zu tun:
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \summe_{j=1}^{1} a_{j} [/mm] = [mm] (2)*\bruch{1}{3}
[/mm]
?
Außerdem habe ich diese explizite Folge berechnet. Sie lautet [mm] \bruch{4^{n-2}*2}{3^{n-1}} [/mm] und gilt für alle [mm] a_{n} [/mm] bis [mm] a_{8} [/mm] (weiter habe ich nicht mehr gerechnet), aber nicht für [mm] a_{1}! [/mm] Ist sowas realistisch oder wurde vll der Anfangswert falsch angegeben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo memorius,
zunächst mal herzlich willkommen hier im Matheraum.
Ich habe versucht, Deine explizite Darstellung nachzuvollziehen, weiss aber beim besten Willen nicht, was die Schreibweise mit den runtergesetzten Indizes bedeuten soll. Ich nehme mal an, dass dies einfache Faktoren sein sollen und dann würde das Bildungsgesetz lauten:
$$ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{8(n-2)}{3(n-1)} \, [/mm] . $$
Für $ [mm] a_2 [/mm] $ wäre dies aber bereits verkehrt. Also ist meine nächste Schätzung:
$$ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2 \cdot 4^{(n-2)}}{3^{(n-1)}} [/mm] $$
und das gibt zumindest bis n=4 sinnvolle Ergebnisse. Den Fall n=1 kann man damit aber nicht beschreiben und damit wäre es streng genommen keine vollständige explizite Darstellung.
Was man jedoch machen kann, ist mit Hlfe der vollständigen Induktion die explizite Formel ab n=2 zu beweisen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:24 So 28.10.2007 | | Autor: | Memorius |
Danke!
Ja, in der Tat, ich habe mich vertippt und meinte:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2 \cdot 4^{(n-2)}}{3^{(n-1)}}
[/mm]
Allerdings lässt sich die angestrebte Gleichheit nicht beweisen. - Vorausgesetzt, dieses Vorgehen beim Induktionsschluss ist richtig:
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{2 \cdot 4^{(n-1)}}{3^{(n)}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2 \cdot 4^{(n-1)}}{3^{(n)}} [/mm] )+ [mm] \bruch{2 \cdot 4^{(n-1)}}{3^{(n+1)}} [/mm] = (nach Induktionsvoraussetzung) [mm] \bruch{2 \cdot 4^{(n-1)}}{3^{(n+1)}} [/mm] + [mm] \bruch{2 \cdot 4^{(n-2)}}{3^{(n-1)}} [/mm] =
[mm] \bruch{2*4^{n-1} + 9*2*4^{n-2}}{3^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{2*(4*4^{n-1} + 9*4^{n-1})}{4*3^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(13*4^{n-1})}{2*3^{n+1}} [/mm]
dit: Ich habe da jetzt eine Ewigkeit daran rumgerechnet und weiß letztendlich keine Antwort. Würde da 12 statt 13 stehen, wäre man fertig.
Kann es sein, dass mein Ansatz für den Beweis vollkommen falsch ist? Oder gilt die Form [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2 \cdot 4^{(n-2)}}{3^{(n-1)}} [/mm] doch nicht für alle n [mm] \ge [/mm] 2?
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> Danke!
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> Ja, in der Tat, ich habe mich vertippt und meinte:
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> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{2 \cdot 4^{(n-2)}}{3^{(n-1)}}[/mm]
>
> Allerdings lässt sich die angestrebte Gleichheit nicht
> beweisen. - Vorausgesetzt, dieses Vorgehen beim
> Induktionsschluss ist richtig:
>
> [mm]a_{n+2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{2 \cdot 4^{(n-1)}}{3^{(n)}}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du meinst
wohl eher
[mm] a_{n+2}=\bruch{1}{3} \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{2*4^{(\red{i}-1)}}{3^{(\red{i})}}.
[/mm]
___
Laß uns die Induktion mal richtig ausführlich machen,
wir nehmen hier die Ordnungsinduktion, denn wir müssen auf Elemente "vor" [mm] a_n [/mm] zurückgreifen, wie Du sehen wirst. Wir setzen also nach dem Induktionsanfang voraus, daß die Beh. für alle [mm] k\le [/mm] n gilt und zeigen: dann gilt sie auch für n+1.
Behauptung: Es ist [mm] a_n= \bruch{2 \cdot 4^{(n-2)}}{3^{(n-1)}} [/mm] für alle [mm] n\in \IN_{\ge 2}
[/mm]
Induktionsanfang: die Beh. stimmt für n=2
Induktionsvoraussetzung: die Beh. [mm] a_k= \bruch{2 \cdot 4^{(k-2)}}{3^{(k-1)}} [/mm] gelte für alle [mm] k\in \IN [/mm] mit [mm] 2\le k\le [/mm] n.
Induktionsschluß: zu zeigen: dann gibt die Beh. auch für n+1, d.h. es ist
[mm] a_{n+1}= \bruch{2 \cdot 4^{((n+1)-2)}}{3^{((n+1)-1)}}=\bruch{2 \cdot 4^{(n-1)}}{3^{n}}.
[/mm]
Bew.:
[mm] a_{n+1}=$ \bruch{1}{3} \summe_{j=1}^{n} a_{j} [/mm] $ (Rekursion)
[mm] =\bruch{1}{3} \summe_{j=1}^{n} \bruch{2 \cdot 4^{(n-2)}}{3^{(n-1)}} [/mm] (nach Induktionsvoraussetzung (!!!) )
=...
und nun mußt Du weitermachen und mit dieser Summe spielen. Es wird der Punkt kommen, an welchem Du die endliche geometrische Reihe wirst verwenden können.
___
Ich will aber auch noch den Ansatz weiterverfolgen, den Du geplant hattest. welcher mit der "normalen" Induktion auskommt, denn nachdem ich kurz in mich gegangen bin, merke ich, daß er mit viel weniger Kenntnissen auskommt:
Induktionsanfang wie oben:
Induktionsvoraussetzung: Es gitl [mm] a_n= \bruch{2 \cdot 4^{(n-2)}}{3^{(n-1)}} [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 2.
Induktionsschluß:
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{3} \summe_{j=1}^{n} a_{j} [/mm] (Rekursion)
[mm] =\bruch{1}{3} \summe_{j=1}^{n-1} a_{j} +\bruch{1}{3}a_n
[/mm]
= [mm] a_n +\bruch{1}{3}a_n [/mm] (Rekursion)
= ... und nun die Induktionsvoraussetzung bringen!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 28.10.2007 | | Autor: | Memorius |
Größten Dank!
Habs auf Anhieb lösen können.
Nur eine kleine Frage zur Rekursion selbst:
[mm] a_{n}=\begin{cases} \bruch{4^{n-1}}{2*3^{n-1}}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{2^{n}}{3^{n-1}}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Wäre das eine vollständig explizite Darstellung für [mm] a_{n}?
[/mm]
Bzw. wenn ich die Form für [mm] a_{n} [/mm] = ungerade beweisen wollte, wäre es so richtig:
Es gilt: [mm] a_{2n} [/mm] = [mm] \bruch{4^{n-1}}{2*3^{n-1}}
[/mm]
(IS)
[mm] a_{2n+2}=\bruch{1}{3} \summe_{j=1}^{2n} a_{j} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \summe_{j=1}^{2n-2} a_{j} +\bruch{1}{3}a_{2n} [/mm] = [mm] a_{2n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}a_{2n} [/mm] = [mm] \bruch{4^{n-1}}{2*3^{n-1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{4^{n-1}}{2*3^{n-1}} [/mm] = ... ?
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> Nur eine kleine Frage zur Rekursion selbst:
>
> [mm]a_{n}=\begin{cases} \bruch{4^{n-1}}{2*3^{n-1}}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{2^{n}}{3^{n-1}}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Wäre das eine vollständig explizite Darstellung für [mm]a_{n}?[/mm]
Zunächst einmal wollen wir offiziell feststellen:
mit dem eben Bewiesenen liegt mit [mm] a_1=2 [/mm] und [mm] a_n=\bruch{2*4^{n-2}}{3^{n-1}} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2 bereits eine explizite Darstellung der Folge vor. Noch "expliziter" braucht man nicht.
> [mm] a_n:= \bruch{4^{n-1}}{2*3^{n-1}}, [/mm] für n gerade
Diese Darstellung gilt ja nicht nur für gerades n, es ist lediglich eine Umformung der bewiesenen Aussage.
> [mm] a_n:= \bruch{2^n}{3^{n-1}}, [/mm] für n ungerade stimmt nicht, denn es müßte ja
[mm] a_n= \bruch{2^n}{3^{n-1}}=\bruch{2*4^{n-2}}{3^{n-1}} [/mm] sein, was nicht der Fall ist.
Folgendes wäre eine weitere Darstellung für [mm] a_n [/mm] :
[mm] a_n:=\bruch{2*4^{n-2}}{3^{n-1}} =\bruch{2^{2n-1}}{3^{n-1}} [/mm] , egal, ob gerade oder ungerade.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 So 28.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Formel nachgerechnet hab ich nicht.
aber wenn sie stimmt, würd ich sie umrechnen in [mm] c*(4/3)^n
[/mm]
Dann hast du für [mm] a_{n+1} [/mm] die Summe ner geometrischen Reihe, die du ausrechnen kannst, (wenn [mm] a_1 [/mm] nicht stimmt halt das aus der Reihe abziehen und dafür 2 addieren.)
dann kannst du feststellen ob deine Formel stimmt.
Gruss leduart.
> Die Aufgabenstellung lautet: Finden und beweisen sie die
> explizite Darstellung von [mm]a_{n}.[/mm]
>
> a1 = 2, [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} \summe_{j=1}^{n} a_{j}[/mm]
>
>
>
> Hallo!
>
> Wollte ich [mm]a_{2}[/mm] ausrechnen, wärs dann richtig es auf diese
> Weise zu tun:
>
> [mm]a_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} \summe_{j=1}^{1} a_{j}[/mm] =
> [mm](2)*\bruch{1}{3}[/mm]
>
> ?
>
> Außerdem habe ich diese explizite Folge berechnet. Sie
> lautet [mm]\bruch{4^{n-2}*2}{3^{n-1}}[/mm] und gilt für alle [mm]a_{n}[/mm]
> bis [mm]a_{8}[/mm] (weiter habe ich nicht mehr gerechnet), aber
> nicht für [mm]a_{1}![/mm] Ist sowas realistisch oder wurde vll der
> Anfangswert falsch angegeben?
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