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| Aufgabe | Es sei die Folge [mm] {a_{n}} [/mm] rekursiv definiert durch:
[mm] a_{1}:=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}:=\wurzel(a_{n}/(a_{n}+1))
[/mm]
Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls den Grenzwert. |
Finde nicht den Ansatz um die Rekursion in eine Formel umzuwandel, oder geht es auch anders? Wäre für jeden Tipp sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mi 10.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo 
Wegen [mm] a_1 [/mm] = 1 und positiver Wurzelfunktion sind die Folgenglieder > 0.
Null können sie nicht werden, denn wenn [mm] a_{n+1} [/mm] = 0, muss schon [mm] a_n [/mm] = 0 gegolten haben.
Außerdem gilt wegen [mm] a_1 [/mm] = 1 und [mm] a_n [/mm] < [mm] a_n [/mm] +1, also
[mm] \bruch{a_n}{a_{n} + 1} [/mm] < 1,
dass die Folgenglieder [mm] \le [/mm] 1 sind wegen der Monotonie der Wurzelfunktion.
Überlege dir als nächstes, ob die Folge (streng) monoton wächst oder fällt.
Tut sie das, ist sie konvergent.
LG djmatey
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