Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Di 13.01.2009 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] sei gegeben durch [mm] $a_0=1, a_1=3, a_{n+2}=3a_{n+1}+\frac{1}{6}a_n, n\geq0$. [/mm] Geben Sie eine geschlossene Formel für [mm] $a_n$ [/mm] an.
|
Hallo,
zuerst habe ich mir die ersten Folgenglieder aufgeschrieben:
[mm] $a_0=1$
[/mm]
[mm] $a_1=3$
[/mm]
[mm] $a_2=3^2 +\frac{1}{6}$
[/mm]
[mm] $a_3=3^3 [/mm] + [mm] 2*3*\frac{1}{6}$
[/mm]
[mm] $a_4=3^4 +3^3+(\frac{1}{6})^2$
[/mm]
[mm] $a_5=3^5 +3^4*\frac{1}{6} +3^3*\frac{1}{6}+3^2*(\frac{1}{6})^2$.
[/mm]
Kann ich die Folgenglieder noch geschickt zusammenfassen, um eine Gesetzmäßigkeit zu entdecken?
Gruß,
Palonina
|
|
| |
|
Hallo Palonina,
> Die Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] sei gegeben durch [mm]a_0=1, a_1=3, a_{n+2}=3a_{n+1}+\frac{1}{6}a_n, n\geq0[/mm].
> Geben Sie eine geschlossene Formel für [mm]a_n[/mm] an.
>
>
> Hallo,
>
> zuerst habe ich mir die ersten Folgenglieder
> aufgeschrieben:
>
> [mm]a_0=1[/mm]
> [mm]a_1=3[/mm]
> [mm]a_2=3^2 +\frac{1}{6}[/mm]
> [mm]a_3=3^3 + 2*3*\frac{1}{6}[/mm]
> [mm]a_4=3^4 +3^3+(\frac{1}{6})^2[/mm]
Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen:
[mm]a_4=3^4 +3^3*\red{\bruch{1}{6}}+(\frac{1}{6})^2[/mm]
>
> [mm]a_5=3^5 +3^4*\frac{1}{6} +3^3*\frac{1}{6}+3^2*(\frac{1}{6})^2[/mm].
>
> Kann ich die Folgenglieder noch geschickt zusammenfassen,
> um eine Gesetzmäßigkeit zu entdecken?
Dazu müssen die Folgenglieder richtig berechnet werden.
Setze
[mm]\alpha=3[/mm]
[mm]\beta=\bruch{1}{6}[/mm]
Dann ist
[mm]a_{0}:=1, \ a_{1}:=3=\alpha[/mm]
[mm]a_{n+2}=\alpha*a_{n+1}+\beta*a_{n}[/mm]
Wenn Du das jetzt für ein paar Folgenglieder aufschreibst,
dann kommst Du auf eine Gesetzmäßigkeit.
> Gruß,
> Palonina
Gruß
MathePower
|
|
|
|
