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Hallo,
Eine [mm] FOlge(a_n) [/mm] ist rekursiv definiert durch [mm] a_0=1 [/mm] und [mm] a_n=1+ [/mm] [mm] \wurzel{a_n-1} [/mm] , n>=1
a)Zeigen sie das [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend und beschränkt ist.(Tip:Induktion)
Ich weiss,dass eine Folge monoton wachsend ist wenn für alle n gilt: [mm] a_n
Wie soll ich an die Aufgabe rangehen?Bitte um Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Hallo,
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> Eine [mm]FOlge(a_n)[/mm] ist rekursiv definiert durch [mm]a_0=1[/mm] und
> [mm]a_n=1+[/mm] [mm]\wurzel{a_n-1}[/mm] , n>=1
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ist mit Deiner Folge alles in Ordnung?
Die ist ja total öde!
[mm] a_n=1 [/mm] für alle 1.
Wenn du das zeigst, dann sind Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz eigentlich kein Thema mehr.
> a)Zeigen sie das [mm](a_n)[/mm] monoton wachsend und beschränkt
> ist.(Tip:Induktion)
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> Ich weiss,dass eine Folge monoton wachsend ist wenn für
> alle n gilt: [mm]a_n\red{\le} a_{n+1}[/mm]
>
> Wie soll ich an die Aufgabe rangehen?Bitte um Hilfe
Falls die Folge doch irgendwie anders heißt:
daß da was mit Indukion laufen soll, wurde ja gesagt.
Vielleicht zeigst Du mal, was Du dafür bereits getan hast und benennst die auftretenden Probleme.
So kann man besser helfen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Angela!
Ich vermute mal, das soll heißen:
[mm] $$a_n [/mm] \ := \ [mm] 1+\wurzel{ \ a_{n-1} \ }$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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> Hallo Angela!
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> Ich vermute mal, das soll heißen:
> [mm]a_n \ := \ 1+\wurzel{ \ a_{n-1} \ }[/mm]
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Oh. Stimmt.
Scheint nicht mein kreativster Tag zu sein heute.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
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> Eine [mm]FOlge(a_n)[/mm] ist rekursiv definiert durch [mm]a_0=1[/mm] und
> [mm]a_n=1+[/mm] [mm]\wurzel{a_{n-1}}[/mm] , n>=1
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> a)Zeigen sie das [mm](a_n)[/mm] monoton wachsend und beschränkt
> ist.(Tip:Induktion)
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> Ich weiss,dass eine Folge monoton wachsend ist wenn für
> alle n gilt: [mm]a_n
>
> Wie soll ich an die Aufgabe rangehen?Bitte um Hilfe
Hallo,
für monoton reicht eigentlich [mm] \le.
[/mm]
Ja, Du mußt zeigen, daß [mm] a_n
oder auch äquivalente Aussagen wie [mm] a_{n+1}-a_n>0, [/mm] oder - für [mm] a_n \not=0 [/mm] - auch [mm] \bruch{a_{n+1}}{a-n}>1.
[/mm]
Es wurde Dir ja schon gesagt, daß Du das mit Induktion machen sollst.
Also
Behauptung: [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
Bew. durch Induktion:
I.A.: ...
I.V.: es ist [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] für ein [mm] n\in \IN
[/mm]
I.S.:
Beh. Dann ist auch [mm] a_{(n+1)+1}>a_{n+1}
[/mm]
Bew.: [mm] a_{n+2}= [/mm] ... und nun mach eine Ungleichungskette unter Zuhilfenahme der Induktionsvoraussetzung, an deren Ende [mm] a_{n+1} [/mm] steht.
Zur Beschränktheit: hast Du eine Idee für eine obere Schranke? Mal mit dem Taschenrechner gespielt?
Gruß v. Angela
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SO da bin ich wieder:)
Ich wollt euch ma den Induktionsanfang der Aufgabe zeigen und somit halt fragen ob der richtig ist.
[mm] a_{n}=1+\wurzel{a_{n}-1}, [/mm] n>=1
[mm] a_{0}=1
[/mm]
[mm] a_{1}=2
[/mm]
[mm] Induktionsanfang:a_{1}>a_{0}
[/mm]
=> [mm] 1+\wurzel{2-1}>1+\wurzel{1-1}
[/mm]
=> 2>1
somit hab ich den ersten Teil bewiesen.Die Aussage stimmt.Ist das richtig oder völliger quatsch?
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Hallo!
> Ich wollt euch ma den Induktionsanfang der Aufgabe zeigen
> und somit halt fragen ob der richtig ist.
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> [mm]a_{n}=1+\wurzel{a_{n}-1},[/mm] n>=1
> [mm]a_{0}=1[/mm]
> [mm]a_{1}=2[/mm]
>
> [mm]Induktionsanfang:a_{1}>a_{0}[/mm]
> => [mm]1+\wurzel{2-1}>1+\wurzel{1-1}[/mm]
> => 2>1
>
> somit hab ich den ersten Teil bewiesen.Die Aussage
> stimmt.Ist das richtig oder völliger quatsch?
Das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , aber korrekter wäre es, du schreibst es so:
[mm] $a_{1} [/mm] = 1 + [mm] \sqrt{a_{0}} [/mm] = 1+ [mm] \sqrt{1} [/mm] = 2 > 1 = [mm] a_{0}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Danke steppenhahn für die schnelle Antwort,
Ich hab jetzt weitergerechnet.
[mm] IV:a_{n+1}>a_{n}
[/mm]
=> [mm] 1+\wurzel{a_{n+1}-1} [/mm] > [mm] 1+\wurzel{a_{n}-1}
[/mm]
=> [mm] 1+\wurzel{a_{0}}> 1+\wurzel{a_{0}-1}
[/mm]
somit stimmt auch diese Aussage [mm] a_{n+1}>a_{n} [/mm] => Die Folge [mm] a_{n}ist [/mm] monoton wachsend
Induktionsbehauptung: [mm] a_{(n+1)}+1 >a_{n+1}
[/mm]
[mm] =>1+\wurzel{a_{(n+1)}+1-1}>1+\wurzel{a_{n+1}-1}
[/mm]
[mm] =>1+\wurzel{a_{0}+1}> 1+\wurzel{a_{0}}
[/mm]
Aussage stimmt ebenfalls.
Hab ich das auch richtig verstanden und umgesetzt.Wenn ja wie geh ich jetzt beim Beweis vor?
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Hallo!
> Ich hab jetzt weitergerechnet.
>
> [mm]IV:a_{n+1}>a_{n}[/mm]
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> => [mm]1+\wurzel{a_{n+1}-1}[/mm] > [mm]1+\wurzel{a_{n}-1}[/mm]
>
> => [mm]1+\wurzel{a_{0}}> 1+\wurzel{a_{0}-1}[/mm]
>
> somit stimmt auch diese Aussage [mm]a_{n+1}>a_{n}[/mm] => Die Folge
> [mm]a_{n}ist[/mm] monoton wachsend
Wenn du die Induktionsvoraussetzung aufschreibst, musst du nichts zeigen. Die Induktionsvoraussetzung ist eine hohle Phrase der Form "Die Aussage gelte für n", die du dann im Induktionsbeweis benutzen darfst.
In deinem Fall also: Es gelte [mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}$.
[/mm]
>
> Induktionsbehauptung: [mm]a_{(n+1)}+1 >a_{n+1}[/mm]
>
> [mm]=>1+\wurzel{a_{(n+1)}+1-1}>1+\wurzel{a_{n+1}-1}[/mm]
>
> [mm]=>1+\wurzel{a_{0}+1}> 1+\wurzel{a_{0}}[/mm]
>
> Aussage stimmt ebenfalls.
Ich denke, du meinst das Richtige, aber da du den Formeleditor nur mäßig benutzt hast, um die Indizes richtig zu setzen, kann ich deine Rechnungen leider weder bestätigen noch berichtigen.
Indizes solltest du immer mit geschweiften Klammern formulieren!: a_{(n+2)-1} liefert [mm] a_{(n+2)-1}.
[/mm]
Es müsste so aussehen beim Induktionsbeweis:
[mm] $a_{n+2} [/mm] = 1 + [mm] \sqrt{a_{n+1}} \overset{IV}{>} [/mm] 1 + [mm] \sqrt{a_{n}} [/mm] = [mm] a_{n+1}$,
[/mm]
und im Grunde bist du damit schon fertig. Wenn man ganz genau sein möchte, müsste man noch zeigen, dass aus [mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}$, [/mm] was wir nach IV wissen, auch wirklich [mm] $\sqrt{a_{n+1}} [/mm] > [mm] \sqrt{a_{n}}$ [/mm] folgt, dies geht zum Beispiel so:
Wegen [mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}$ [/mm] gilt:
[mm] $a_{n+1}-a_{n} [/mm] > 0$
Da [mm] $\sqrt{a_{n+1}} [/mm] + [mm] \sqrt{a_{n}} [/mm] > 0$, folgt auch:
[mm] $\Rightarrow \frac{a_{n+1}-a_{n}}{\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_{n}}} [/mm] > 0$
[mm] $\Rightarrow \frac{(\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_{n}})*(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_{n}})}{\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_{n}}} [/mm] > 0$
[mm] $\Rightarrow \sqrt{a_{n+1}} [/mm] - [mm] \sqrt{a_{n}} [/mm] > 0$
[mm] $\Rightarrow \sqrt{a_{n+1}}> \sqrt{a_{n}}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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