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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Fr 22.01.2010 | | Autor: | fiktiv |
| Aufgabe | [mm] {a_{n}}_{n\in\IN} [/mm] wir rekursiv definiert durch [mm] a_{0}=a [/mm] und [mm] a_{n+1}=r*a_{n}+s [/mm] für [mm] n\ge0. (r,s\in\IR, r\not=1)
[/mm]
Man beweise folgende explizite Bildungsvorschrift mit vollständiger Induktion:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] (a-\bruch{s}{1-r})*r^n [/mm] + [mm] \bruch{s}{1-r} [/mm] |
Ich habe dies über die vollständige Induktion, so meine ich, bewerkstelligt. Mir ist die Umformung zum Ende aber nicht ganz einleuchtend.
Ich habe zum Schluss folgendes:
[mm] r^{n}a_{0} [/mm] + [mm] r^{n-1}s [/mm] + [mm] r^{n-2}s [/mm] + ... + rs
Mir ist aber nicht ganz klar, wie ich durch die Ausklammerung des [mm] r^{n} [/mm] auf die gegebene Bildungsvorschrift kommen sollte - oder habe ich irgendwo was übersehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Fr 22.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]{a_{n}}_{n\in\IN}[/mm] wir rekursiv definiert durch [mm]a_{0}=a[/mm] und
> [mm]a_{n+1}=r*a_{n}+s[/mm] für [mm]n\ge0. (r,s\in\IR, r\not=1)[/mm]
> Man
> beweise folgende explizite Bildungsvorschrift mit
> vollständiger Induktion:
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm](a-\bruch{s}{1-r})*r^n[/mm] + [mm]\bruch{s}{1-r}[/mm]
> Ich habe dies über die vollständige Induktion, so meine
> ich, bewerkstelligt. Mir ist die Umformung zum Ende aber
> nicht ganz einleuchtend.
> Ich habe zum Schluss folgendes:
> [mm]r^{n}a_{0}[/mm] + [mm]r^{n-1}s[/mm] + [mm]r^{n-2}s[/mm] + ... + rs
> Mir ist aber nicht ganz klar, wie ich durch die
> Ausklammerung des [mm]r^{n}[/mm] auf die gegebene Bildungsvorschrift
> kommen sollte - oder habe ich irgendwo was übersehen?
Mit diesen Fragmenten kann man wenig anfangen
Zeig doch mal Deine komplette Rechnung !
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:53 Fr 22.01.2010 | | Autor: | fiktiv |
Okay..
ich will ja zu [mm] a_{0} [/mm] kommen..:
[mm] a_{n}=r*a_{n-1}+s, a_{n-1}=r*a_{n-2}+s, [/mm] ... , [mm] a_{1}=r*a_{0}+s
[/mm]
ineinander eingesetzt:
[mm] a_{n+1}=r*a_{n}+s [/mm] = [mm] r(r*a_{n-1}+s)=r^{2}a_{n-1}+rs [/mm] = [mm] r^{2}(ra_{n-2}+s)+rs [/mm] = [mm] r^{3}a_{n-2}+r^{2}s+rs [/mm] = ... = [mm] r^{n}a_{0} [/mm] + [mm] r^{n-1}s [/mm] + [mm] r^{n-2}s [/mm] + ... + rs
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Fr 22.01.2010 | | Autor: | gfm |
Du brauchst doch gar nicht die explizite Summe hinschreiben und das Bildungsgesetz ausrechnen, da das schon gegeben ist, sondern einmal die Rekursion auf das Bildungsgesetz anwenden.
Im übrigen bekommt der Anfangswert von [mm] a_{0} [/mm] bei jedem Schritt ein r dranmultipliziert und über das s entsteht eine geometrische Reihe: [mm] a_{0}r^{n} [/mm] + [mm] s\bruch{1-r^{n}}{1-r}
[/mm]
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Fr 22.01.2010 | | Autor: | fiktiv |
Aber ich möchte schon recht gerne meinen Versuch zu Ende bringen und nachvollziehen, wo ich Fehler habe um sie dann zu beheben.. ;)
Hier noch einmal meine Arbeitsweise:
[mm] a_{n}=r*a_{n-1}+s, a_{n-1}=r*a_{n-2}+s, [/mm] ... , [mm] a_{1}=r*a_{0}+s [/mm]
eingesetzt:
[mm] a_{n+1}=r*a_{n}+s [/mm] = [mm] r(r*a_{n-1}+s)=r^{2}a_{n-1}+rs [/mm] = [mm] r^{2}(ra_{n-2}+s)+rs [/mm] = [mm] r^{3}a_{n-2}+r^{2}s+rs [/mm] = ... = [mm] r^{n}a_{0} [/mm] + [mm] r^{n-1}s [/mm] + [mm] r^{n-2}s [/mm] + ... + rs
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Fr 22.01.2010 | | Autor: | Gauss |
Hallo,
ein Beweis durch vollst. Indukt. wäre folgendes:
Induktionsanfang:
Die explizite Formel ist offenbar richtig für n=0, denn
[mm] a_{0}=a-\bruch{s}{1-r}+\bruch{s}{1-r}=a
[/mm]
Induktionsschritt von n auf n+1:
[mm] a_{n+1}=r*a_{n}+s=r*[(a-\bruch{s}{1-r})*r^{n}+\bruch{s}{1-r}]+s
[/mm]
[mm] =(a-\bruch{s}{1-r})*r^{n+1}+\bruch{r*s}{1-r}+s=(a-\bruch{s}{1-r})*r^{n+1}+\bruch{r*s+(1-r)*s}{1-r}=(a-\bruch{s}{1-r})*r^{n+1}+\bruch{s}{1-r}
[/mm]
q.e.d.
Gauss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 22.01.2010 | | Autor: | fiktiv |
Hallo und dankeschön.
Aber was du da machst, ist ja schlicht das bereits bekannte [mm] a_{n} [/mm] in das erstellte [mm] a_{n+1} [/mm] einzusetzen. Ist das so die gängige Art der Beweisführung?
Dennoch eine Nachfrage:
[mm] (a-\bruch{s}{1-r})*r^{n+1}+\bruch{r*s}{1-r}+s=(a-\bruch{s}{1-r})*r^{n+1}+\bruch{r*s+(1-r)*s}{1-r}
[/mm]
Dort hast du s mit dem (1-r) erweitert, um es auf den Bruch schreiben und dort dann weiterverwenden zu können, richtig? Und danach hast du es einfach ausmultipliziert und gekürzt..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Gauss |
> Hallo und dankeschön.
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> Aber was du da machst, ist ja schlicht das bereits bekannte
> [mm]a_{n}[/mm] in das erstellte [mm]a_{n+1}[/mm] einzusetzen. Ist das so die
> gängige Art der Beweisführung?
Das Prinzip der vollständigen Induktion beruht darauf, erst zu beweisen, dass die Behauptung für n=0 gilt, und dann zu zeigen:
Wenn die Behauptung für n gilt, so gilt sie auch für n+1.
Dadurch ist sie dann für alle natürlichen Zahlen richtig.
> Dennoch eine Nachfrage:
>
> [mm](a-\bruch{s}{1-r})*r^{n+1}+\bruch{r*s}{1-r}+s=(a-\bruch{s}{1-r})*r^{n+1}+\bruch{r*s+(1-r)*s}{1-r}[/mm]
> Dort hast du s mit dem (1-r) erweitert, um es auf den
> Bruch schreiben und dort dann weiterverwenden zu können,
> richtig? Und danach hast du es einfach ausmultipliziert und
> gekürzt..
Genau!
Gauss
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