Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Do 11.02.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Sei [mm] a_0=4 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\bruch{a_n+3}{2}
[/mm]
Prüfen Sie auf konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.
|
Huhu Leute, brauche bei rekursiven Folgen noch etwas Hilfe.
Soweit ich weiß gibt es für meine Zwecke fast nur ein Mittel, nämlich zu zeigen, dass die Folge monoton und beschränkt ist, oder?
In meinem Skript wurde es jetzt so gemacht: Ersteinmal davon ausgehen, dass der Grenzwert existiert und bilden. Danach zeigen, dass Monotonie und Beschränktheit vorliegt. Auf gehts:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}=\bruch{a_n+3}{2})->a=\bruch{a+3}{2}\gdw2a=a+3\gdwa=3
[/mm]
Das kann ich machen, weil [mm] a_{n+1} [/mm] den gleichen Grenzwert hat, wie [mm] a_n, [/mm] oder?
Da der Grenzwert 3 sein könnte, liegt es nahe, dass die Folge fällt, vllt monoton, also:
[mm] a_{n+1}\lea_n\gdw\bruch{a_n+3}{2}\lea_n\gdwa_n\ge3
[/mm]
Ist das eine wahre Aussage, bzw kann ich das verwerten? Wenn ich davon ausgehe, dass 3 der Grenzwert ist, stimmts ja.
Beschränktheit:
Ich gehe davon aus, dass für jedes n gilt: [mm] a_n\ge3
[/mm]
Zu zeigen ist : [mm] a_{n+1}\ge3\Rightarrow\bruch{a_n+3}{2}-3\ge0 [/mm]
das gilt, da [mm] a_n\ge3 [/mm] ist und somit der Bruch minimal 3 werden kann und für alle anderen n größer ist und somit nie kleiner 0 wird.
Damit ist die Folge beschränkt + monoton fallend und hat somit Grenzwert 3.
Ist das korrekt, oder habe ich sachen benutzt, die ich garnicht hätte benutzen dürfen, weil es nur Annahmen oder so waren?
Danke & Schöne Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Do 11.02.2010 | | Autor: | kappen |
Oben ist natürlich ein Formel Fehler drin, kanns aber nicht editieren, weils schon reserviert ist:
[mm] a_{n+1} \le a_n\gdw\bruch{a_n+3}{2}\le a_n\gdw a_n\ge3 [/mm]
So heißt die monotonie Bedingung richtig ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Do 11.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]a_0=4[/mm] und [mm]a_{n+1}=\bruch{a_n+3}{2}[/mm]
>
> Prüfen Sie auf konvergenz und bestimmen Sie ggf. den
> Grenzwert.
>
>
> Huhu Leute, brauche bei rekursiven Folgen noch etwas
> Hilfe.
>
> Soweit ich weiß gibt es für meine Zwecke fast nur ein
> Mittel, nämlich zu zeigen, dass die Folge monoton und
> beschränkt ist, oder?
>
> In meinem Skript wurde es jetzt so gemacht: Ersteinmal
> davon ausgehen, dass der Grenzwert existiert und bilden.
> Danach zeigen, dass Monotonie und Beschränktheit vorliegt.
> Auf gehts:
Jawoll !!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}=\bruch{a_n+3}{2})->a=\bruch{a+3}{2}\gdw2a=a+3\gdwa=3[/mm]
Da gehts ja drunter und drüber !
Du meinst wohl: ist a der GW von [mm] (a_n), [/mm] so gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n+3}{2} \gdw a=\bruch{a+3}{2} \gdw [/mm] 2a=a+3 [mm] \gdw [/mm] a=3
>
> Das kann ich machen, weil [mm]a_{n+1}[/mm] den gleichen Grenzwert
> hat, wie [mm]a_n,[/mm] oder?
Ja
>
> Da der Grenzwert 3 sein könnte, liegt es nahe, dass die
> Folge fällt, vllt monoton, also:
>
> [mm]a_{n+1}\lea_n\gdw\bruch{a_n+3}{2}\lea_n\gdwa_n\ge3[/mm]
Das ist keine Aussage, da stehen nur aneinander gereite Symbole
(der Formeleditor hat eine Vorschaufunktion !!!)
>
> Ist das eine wahre Aussage, bzw kann ich das verwerten?
> Wenn ich davon ausgehe, dass 3 der Grenzwert ist, stimmts
> ja.
>
> Beschränktheit:
>
> Ich gehe davon aus, dass für jedes n gilt: [mm]a_n\ge3[/mm]
Hä, wieso kannst Du davon ausgehen. Das ist doch erst zu zeigen !!!
> Zu zeigen ist :
> [mm]a_{n+1}\ge3\Rightarrow\bruch{a_n+3}{2}-3\ge0[/mm]
> das gilt, da [mm]a_n\ge3[/mm] ist und somit der Bruch minimal 3
> werden kann und für alle anderen n größer ist und somit
> nie kleiner 0 wird.
Mann oh mann, was soll man dazu sagen ?
>
> Damit ist die Folge beschränkt + monoton fallend und hat
> somit Grenzwert 3.
Nichts von alldem hast Du gezeigt !!
>
> Ist das korrekt,
Nein
> oder habe ich sachen benutzt, die ich
> garnicht hätte benutzen dürfen, weil es nur Annahmen oder
> so waren?
Ist Dir bekannt wie man "vollständige Induktion" schreibt ?
Zeige damit (es ist piepeinfach):
1. [mm] a_n \ge [/mm] 3 für jedes n
2. [mm] a_{n+1} \le a_n [/mm] für jedes n
FRED
>
> Danke & Schöne Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 11.02.2010 | | Autor: | kappen |
Okay.
Beschränktheit: Beweis durch Induktion
Induktionsvoraussetzung: [mm] a_n\ge3
[/mm]
Induktionsanfang: n=0
Behauptung: [mm] a_0\ge3
[/mm]
Beweis: nach Voraussetzung ist [mm] a_0=4, [/mm] stimmt also.
Induktionsschritt: n->n+1
Behauptung: [mm] a_{n+1}\ge3
[/mm]
Beweis: [mm] \bruch{a_n+3}{2}\ge3 \gdw a_n+3\ge6 \gdw a_n\ge3, [/mm] nach Induktionsvoraussetzung stimmt das doch oder nicht?
Monotonie: Beweis durch Induktion
I.v.: [mm] a_{n+1}\le a_n
[/mm]
I.a.: n=0
Beh. [mm] a_{n+1}\le a_n
[/mm]
Beweis: [mm] a_1\le a_0 \gdw [/mm] 3,5 [mm] \le [/mm] 4, stimmt
I.S.: n->n+1
Beh. [mm] a_{n+1}\le a_n
[/mm]
Beweis: [mm] \bruch{a_n+3}{2}\le a_n \gdw a_n+3\le 2a_n \gdw a_n\ge3, [/mm] darf ich hier sagen, dass das nach dem oben gezeigten richtig ist?
Jetzt habe ich es so aufgeschrieben, wie ich einen Induktionsbeweis anstellen würde. Da das sehr ähnlich ist zu meinem anderen Post schätze ich dass es falsch ist und hoffe, dass du zeigen kannst, wie ichs richtig mache und dass du nicht vor Schauder oder Entsetzen vom Stuhl fällst, so sah das nämlich aus ;)
Schöne Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Do 11.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Ind. Beweise sind unklar.
du musst die Ind. Vors deutlich hinschreiben
Ind.Vors an>3
daraus jetzt folgern
[mm] a_n+3>6=> (a_n+3)/2>3 [/mm] mit [mm] a_{n+1}=(a_n+3)/2 [/mm] also
[mm] a_{n+1}>3
[/mm]
entsprechend im Monotoniebeweis:
Vors: [mm] a_{n+1}
du willst daraus und aus [mm] a_n>3 [/mm] für alle n
zeigen
[mm] a_{n+2}
und jetzt musst du deutlich zeigen, wo und wie du die Vors. benutzt.
Bei dir ist IndVors und IndBeh. dasselbe!
Du kannst mit [mm] a_n>3 [/mm] auch ohne Induktion zeigen, dass [mm] a_{n+1}
ist, du hast ja auch keine Induktion gemacht.
Nur geh von der Vors aus, nicht von der Behauptung, die du umformst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 11.02.2010 | | Autor: | kappen |
Okay danke.
Verstehe nicht, wie du den Beschränktheit Beweis geführt hast, irgendwie hast du den anders herum gerechnet. Wo wurde denn da die Induktionsvoraussetzung benutzt?
Ich probiers nochmal mit der Monotonie..
Induktionsvoraussetzung: [mm] a_{n+1}\lea_n
[/mm]
Induktionsanfang: n=0
Behauptung: [mm] a_1\le a_0
[/mm]
Beweis: [mm] a_1\le a_0\gdw 3,5\le4
[/mm]
Induktionsschritt: n->n+1
Behauptung: [mm] a_{n+2}\le a_{n+1} [/mm]
Beweis: [mm] a_{n+2}\le\bruch{a_n+3}{2} \gdw \bruch{a_{n+1}+3}{2}\le \bruch{a_n3+3}{2} \gdw a_{n+1}\le a_n [/mm]
Und hier stocke ich jetzt, wenn ich die Induktionsvoraussetzung benutzen möchte. Muss ich jetzt sagen, dass
[mm] a_{n+1}-a_n\le [/mm] 0 und nach Induktionsvoraussetzung [mm] \le a_n-a_n [/mm] ist? Das ist seltsam..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Do 11.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst wirklich stur vorgehen.
[mm] a_{n+2}=\bruch{a_{n+1}+3}{2} \le \bruch{a_{n}+3}{2}=a_{n+1}
[/mm]
das einzige [mm] \le [/mm] ist richtig, weil [mm] a_n>0 [/mm] und [mm] a_n\le a_{n+1} [/mm] nach Vors.
Aber ganz ohne Induktion, nur untet Benutzung von [mm] a_n\ge [/mm] 3
folgt direkt:
[mm] a_{n+1}=\bruch{a_{n}+3}{2}\le \bruch{a_{n}+a_n}{2}=a_n
[/mm]
hier wurde nur die 3 durch [mm] a_n [/mm] vergrössert, also keine Induktion benutzt.
im Beweis für [mm] \ge3 [/mm] bin ich von der als richtig angenommenen Indvors. ausgegangen, und hab die durch einfaches abschätzen zur Indbeh. geführt.
Du dagegen fängst mit der Indbehauptung an, formst die um und kommst bei der Indvors. an. Dabei muss man viel vorsichtiger sein, dass jede Umformung eine Äquivalenzumformung ist, also auch rückwärts geht.
Es ist also besser und logischer da anzufangen, wo du aufgehört hast, und deinen Weg rückwärts zu gehen.
dummes Beispiel
Beh: -1=1 folgt [mm] (-1)^2=1^2 [/mm] folgt 1=1 das ist richtig, also gilt auch -1=1
ich hab aus ner falschen Beh. was richtiges gefolgert! deshalb ist die Beh. noch immer nicht richtig.
(dein Vorgehen ist nicht falsch, sondern verführt nur zu Fehlern, weil du mit der Behauptung anfängst wenn nicht jeder Schritt auch rückwärts geht (was bei dir der Fall war) ist dass am Ende was richtiges rauskommt kein Beweis
Gruss leduart
|
|
|
|
